第17讲 概率2021年新九年级数学暑假精品课程（华师大版）（解析版）

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第17 讲 概率
【学习目标】
1.进一步认识频率与概率的关系，加深对概率的理解；
2.会用列表和画树状图等方法计算简单事件发生的概率；
3.能利用重复试验的频率估计随机事件的概率；
4.学会运用概率知识解决简单的实际问题.
【基础知识】
考点一、用树状图或表格求概率
1.树状图
当一次试验要涉及 3 个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图，
也称树形图、树图.
树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能
的次数和方式，并求出概率的方法.
考点诠释：
(1)树形图法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；
(2)在用树形图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同.
2.列表法
当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果 ，
通常采用列表法.
列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次
数和方式，并求出概率的方法.
考点诠释：
（1）列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；
（2）列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率.
3.用列举法求概率的一般步骤
（1）列举（列表、画树状图）事件所有可能出现的结果，并判断每个结果发生的可能性是否都相等；
（2）如果都相等，再确定所有可能出现的结果的个数 n 和其中出现所求事件 A 的结果个数 m；
（3）用公式计算所求事件 A 的概率.即 P（A）=
n
m
.
1
考点二、用频率估计概率
1.频率与概率的定义
频率：在相同条件下重复 n 次试验，事件 A 发生的次数 m 与试验总次数 n 的比值.
概率：事件 A 的频率
n
m
接近与某个常数，这时就把这个常数叫做事件 A 的概率，记作 P（A）.
2.频率与概率的关系
事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试
验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概
率的近似值.
考点诠释：
（1）频率本身是随机的，在试验前不能确定，无法从根本上来刻画事件发生的可能性的大小，在大
量重复试验的条件下可以近似地作为这个事件的概率；
（2）频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等；
（3）概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复试验中事件发生的频率
去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的.
3.利用频率估计概率
当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计
概率.
考点诠释：
用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将较为精
确.
【考点剖析】
考点一：用树状图或表格求概率
例1．同时抛掷两枚均匀硬币，正面都同时向上的概率是（ ）
A．
1
3
B．
1
4
C．
1
2
D．
3
4
【答案】B.
【解析】可能性有（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）4 种，正面都同时向上的占 1 种，
所以概率为
1
4
.
【总结】利用树状图法列出所有的可能，看符合题意的占多少.
举一反三：
2
【变式 1】袋中装有一个红球和一个黄球，它们除了颜色外其余均相同，随机从中摸出一球，记录下颜
色放回袋中，充分摇匀后，再随机从中摸出一球，两次都摸到黄球的概率是（ ）
A．
1
3
B．
1
2
C．
1
4
D．
3
4
【答案】C.
【变式 2】随机地掷两次骰子，两次掷得的点数相同的概率是（ ）.
A．
1
3
B．
1
4
C．
1
12
D．
1
6
【答案】D.
例 2. 一个盒子装有除颜色外其它均相同的 2个红球和 3个白球，现从中任取 2个球，则取到的是一个红球、
一个白球的概率为（　　）
A．B．C．D．
【思路】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与取到的是一个红球、一个白
球的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【答案】C.
【解析】解：画树状图得：
∵共有20 种等可能的结果，取到的是一个红球、一个白球的有 12 种情况，
∴取到的是一个红球、一个白球的概率为： =．
故选 C．
【总结】此题考查了列表法或树状图法求概率．注意此题是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求
情况数与总情况数之比．
举一反三：
【变式 1】从分别标有 1 到 9数字的9 张卡片中任意抽取一张，抽到所标数字是 3 的倍数的概率为（ ）
A．
1
9
B．
1
8
　 C．
2
9
D．
1
3
【答案】D.
3
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