第17讲 二次函数y=a+bx+c的图像（解析版）

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第 17 讲 二次函数 y=a +bx+c 的图像
【学习目标】
二次函数 的图像的研究，需要利用配方法的方式对 进行变形，从而利用
的图像特征研究 的图像特征，继而掌握
a
、
b
、
c
与二次函数图像的对称轴
和顶点的联系．
【基础知识】
一、二次函数 的图像
二次函数 （其中 a、m、k是常数，且 ）的图像即抛物线 ，可以
通过将抛物线 进行两次平移得到．
这两次平移可以是：先向左（ 时）或向右（ 时）平移 个单位，再向上（ 时）或向
下（ 时）平移 个单位．
利用图形平移的性质，可知：抛物线 （其中 a、m、k是常数，且 ）的对称轴是
经过点（ ，0）且平行于 y轴的直线，即直线 x =；抛物线的顶点坐标是（ ，k）．抛物线的开口
方向由 a所取值的符号决定，当 时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当 时，开口向下，顶
点是抛物线的最高点．
二、二次函数 的图像
二次函数 的图像称为抛物线 ，这个函数的解析式就是这条抛物线的表达
式．
任意一个二次函数 （其中 a、b、c是常数，且 ）都可以运用配方法，把它的解析
式化为 的形式．
对 配方得： ．
由此可知：
抛物线 （其中 a、b、c是常数，且 ）的对称轴是直线 ，顶点坐标是（ ，
）．
1
当 时，抛物线 开口向上，顶点是抛物线的最低点，抛物线在对称轴（即直线
）左侧的部分是下降的，在对称轴右侧的部分是上升的；
当 时，抛物线 开口向下，顶点是抛物线的最高点，抛物线在对称轴（即直线
）左侧的部分是上升的，在对称轴右侧的部分是下降的．
【考点剖析】
考点一：二次函数 的图像
例1．说出抛物线 的开口方向、对称轴和顶点坐标，并指出它是由抛物
线 通过怎样的平移得到的．
【难度】★
【答案】抛物线 的开口向上、对称轴为直线 、顶点坐标为 ， 由 抛 物 线
先向左平移一个单位，再向下平移 3个单位得到．
【解析】抛物线 （ ）的对称轴是直线 ；抛物线的顶点坐标是 ． 抛
物线的开口方向由 所取值的符号决定，当 时，开口向上；当 时， 开 口 向 下 ． 二 次 函 数
（ ）的图像可以通过将抛物线 进行 两次平移得到．这两次平移可以是：
先向左（ 时）或向右（ 时）平移 个 单位，再向上（ 时）或向下（ 时）平移 个
单位．
【总结】本题考查了二次函数的性质及抛物线的平移，熟记抛物线的性质及掌握平移口诀“上加下减，左
加右减”是做题的关键．
例2．一个运动员打高尔夫球，若球的飞行高度 y（米）与水平距离 x（米）之间的函数 表 达 式 为
，则高尔夫球在飞行过程中的最大高度为（ ）
A．10 米B．20 米C．30 米D．60 米
【难度】★
【答案】A．
【解析】抛物线 （ ）的开口方向由 所取值的符号决定，
当 时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；
当 时，开口向下，顶点是抛物线的最高点．
2
∴抛物线 顶点坐标为 ，∴最大高度为 10 米．
【总结】本题考查了二次函数的简单应用．
例3．与抛物线 形状相同，开口方向也相同，顶点为（2， ）的抛物线解析式 为 ______
_______．
【难度】★
【答案】 ．
【解析】设解析式为 ，∵抛物线形状、开口方向相同，∴ ，
∵顶点为（2， ），∴ ， ，∴解析式为 ．
【总结】本题考查二次函数的顶点式的求法．
例4．在平面直角坐标系中，如果抛物线 不动，而把 x轴、y轴分别向上、向右平 移 2个 单
位，那么在新平面直角坐标系下抛物线的解析式是_____________．
【难度】★★
【答案】 ．
【解析】把 轴向上平移 2个单位，抛物线形状不变，顶点为 ，
∴解析式为 ；把 轴向右平移 2个单位，抛物线形状不变，
顶点为 ，∴解析式为 ．
【总结】本题考查抛物线的平移，坐标轴平移可以看成抛物线向相反方向平移．
例5．已知二次函数 的图像上有 A（ ，y1）、B（2，y2）、C（ ， y3） 三 个
点，则 y1、y2、y3的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【难度】★★
【答案】D．
【解析】二次函数 的对称轴为直线 ，∵ ，
∴到直线 的距离越小的点 就越小，∴ ．
【总结】本题主要考查学生对二次函数图像的理解，做题的关键是掌握抛物线的对称性．
例6．与抛物线 形状相同，顶点为（3， ）的抛物线解析式为_____________．
【难度】★★
3
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