第16讲 特殊二次函数的图像（二）（解析版）

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第 16 讲 特殊二次函数的图像（二）
【学习目标】
特殊二次函数的图像是九年级数学上学期第三章第二节的内容，本讲主要讲解二次函数 和
二次函数 的图像及其性质．重点是通过学习抛物线 平移得到二次函数 和二
次函数 的方法，掌握二次函数 和二次函数 的直观性质，并体会图形
运动的运用．熟练掌握特殊二次函数的图像是学习二次函数 的基础．
【基础知识】
一、二次函数 的图像
一般地，二次函数 的图像是抛物线，称为抛物线 ，它可以通过将抛物线
向上（ 时）或向下（ 时）平移 个单位得到．
抛物线 （其中 a、c是常数，且 ）的对称轴是 y轴，即直线 x = 0；顶点坐标是
（0，c）．抛物线的开口方向由 a所取值的符号决定，当 时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当
时，开口向下，顶点是抛物线的最高点．
二、二次函数 的图像
一般地，二次函数 的图像是抛物线，称为抛物线 ，它可以通过将抛物线
向左（ 时）或向右（ 时）平移 个单位得到．
抛物线 （其中 a、m是常数，且 ）的对称轴是过点（-m，0）且平行（或重合）于 y
轴的直线，即直线 x = -m；顶点坐标是（-m，0）．当 时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当
时，开口向下，顶点是抛物线的最高点．
【考点剖析】
考点一：二次函数 的图像
例1．在同一平面直角坐标系中，画出函数 、 和 的图像．
【难度】★
【答案】如图：
【解析】略．
1
2
1y x 
y
Ox
2
1y x 
2
y x
【总结】本题考查二次函数的图像及平移．
例2．将函数 、 与函数 的图像进行比较，函数 、 的图像
有哪些特征？完成下表．
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
【难度】★
【答案】
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
向上 轴
向上 轴
向上 轴
【解析】抛物线 （其中 、 是常数，且 ）的对称轴是 轴，即直线 ； 顶 点
坐标是 ．抛物线的开口方向由 所取值的符号决定，当 时，开 口向上；当 时，开
口向下．
【总结】本题考查抛物线的图像和性质．
例3．说出下列函数的图像如何由抛物线 平移得到，再分别指出图像的开口方向、对称轴
和顶点坐标．
（1） ； （2） ．
【难度】★
2
【答案】（1）向上平移两个单位；开口向上，对称轴 轴，顶点坐标 ；
（2）向下平移一个单位；开口向上，对称轴 轴，顶点坐标 ．
【解析】二次函数 的图像可以通过将抛物线 向上（ 时）或向下（ 时）平移
个单位得到．抛物线 （其中 、 是常数，且 ）的对称轴是 轴，即直线 ；顶点坐标
是 ．抛物线的开口方向由 所取值的符号决定，当 时，开口向上；当 时，开口向下．
【总结】本题考查抛物线的平移，做题的关键是理解平移口诀“左加右减，上加下减”．
例4．在函数 ； ； 中，图像开口大小按题号顺序表示为（ ）
A．> > B．> > C． > > D．> >
【难度】★
【答案】B．
【解析】抛物线 中， 决定开口大小， 越大，开口越小．
【总结】本题考察抛物线的性质，主要理解开口大小由 决定．
例5．抛物线 ， ， 共有的性质是（ ）
A．开口向上 B．对称轴都是 y轴C．都有最高点 D．顶点相同
【难度】★
【答案】B．
【解析】抛物线 开口向上，对称轴是 轴，有最低点，顶点坐标 ；
抛物线 开口向下，对称轴是 轴，有最高点，顶点坐标 ；
抛物线 开口向上，对称轴是 轴，有最高点，顶点坐标 ．
【总结】本题考查抛物线的性质．
例6．已知 ，点（a – 1，y1）、（a，y2）、（a + 1，y3）都在函数 的图像上，
则（ ）
A．B．
C．D．
【难度】★★
【答案】C．
【解析】∵ ，∴ ，∴三点都在抛物线对称轴的左侧，
∵ 在 轴左侧 随 的增大而减小，∴ ．
3
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