第16讲 解直角三角形2021年新九年级数学暑假精品课程（华师大版）（解析版）

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第16 讲 解直角三角形
【学习目标】
1．了解解直角三角形的含义，会综合运用平面几何中有关直角三角形的知识和锐角三角函数的定义解直
角三角形；
2．会运用有关解直角三角形的知识解决实际生活中存在的解直角三角形问题．
【基础知识】
考点一、解直角三角形
　　在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.
　　在直角三角形中，除直角外，一共有 5 个元素，即三条边和两个锐角.
　　设在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C 所对的边分别为 a、b、c，则有：
　　①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).
　　②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.
　　③边角之间的关系：
　　　 ， ， ，
　　　 ， ， .
　　④ ，h 为斜边上的高.
考点诠释：
　　(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为 90°)，是已知值.
　　(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).
　　(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.
考点二、解直角三角形的常见类型及解法
1
已知条件 解法步骤
Rt△ABC
两
边
两直角边(a，b)
由 求∠A，
∠B=90°－∠A，
斜边，一直角边(如 c，a)
由 求∠A，
∠B=90°－∠A，
一
边
一
角
一直角边
和一锐角
锐角、邻边
(如∠A，b)
∠B=90°－∠A，
，
锐角、对边
(如∠A，a)
∠B=90°－∠A，
，
斜边、锐角(如 c，∠A)
∠B=90°－∠A，
，
考点诠释：
　　1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素
是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.
　　2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为
边.
2
考点三、解直角三角形的应用
解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量
关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.
　　解这类问题的一般过程是：
　　(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几
何图形，建立数学模型.
　　(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问
题.
　　(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.
　　(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.
　　拓展：
　　在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：
　　(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母 表示.
　　坡度(坡比)：坡面的铅直高度 h 和水平距离 的比叫做坡度，用字母 表示，则 ，如图，
坡度通常写成 =∶的形式.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯
角，如图.
3
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