第15讲 二次函数的概念及特殊二次函数的图像（一）解析版

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第 15 讲 二次函数的概念及特殊二次函数的图像（一）
【学习目标】
二次函数是九年级上学期第三章的内容．
本讲首先讲解二次函数的概念，需学会判断一个函数是否是二次函数，重点是学会在实际问题中用二
次函数描述两个变量之间的依赖关系，并确定函数定义域．
其次，在理解了二次函数概念的基础上，本讲讲解了特殊二次函数 的图像，重点是学会利用描
点法画出二次函数的图像，并通过观察和分析，归纳出抛物线 的特征，掌握其直观性质，为学习其
他形式的二次函数的图像做好准备．
【基础知识】
一、二次函数
一般地，解析式形如 （其中 a、b、c是常数，且 ）的函数叫做二次函数．
二次函数 的定义域为一切实数．而在具体问题中，函数的定义域根据实际意义来确定．
二、二次函数
y
=
ax
2的图像
1. 的图像
在平面直角坐标系 xOy 中，按照下列步骤画二次函数 的图像．
（1）列表：取自变量 x的一些值，计算相应的函数值 y，如下表所示：
x…-2 -1 0 1 2 …
…4 1 0 1 4 …
（2）描点：分别以所取的 x的值和相应的函数值 y作为点的横坐标和纵坐标，描出这些坐标所对应的
各点，如图 1所示．
（3）连线：用光滑的曲线把所描出的这些点顺次联结起来，得到函数 的图像，如图 2所示．
1
二次函数 的图像是一条曲线，分别向左上方和右上方无限伸展．它属于一类特殊的曲线，这类
曲线称为抛物线．二次函数 的图像就称为抛物线 ．
2.二次函数 的图像
抛物线 （ ）的对称轴是 y轴，即直线 x = 0；顶点是原点．当 时，抛物线开口向上，
顶点为最低点；当 时，抛物线开口向下，顶点为最高点．
【考点剖析】
考点一：二次函数
例1．判断下列函数是否是二次函数．
（1） ； （2） ； （3） ；
（4） ； （5） ； （6） ．
【难度】★
【答案】（1）不是；（2）是；（3）不是；（4）是；（5）是；（6）不是
【解析】（1）没有二次项；（2）符合 ；（3）不是整式；
（4） ，符合 ；
（5） ，符合 ；
（6） ，没有二次项．
【总结】本题考察二次函数的概念，判断一个函数是否是二次函数，关键看是否符合
的形式．
例2． 是关于 x的二次函数需要满足的条件是_____________．
【难度】★
【答案】 且 ．
【解析】 ，解得 且 ．
【总结】本题考察二次函数的概念，二次函数需满足二次项系数不为零．
例3．二次函数 的二次项系数为 a，一次项系数为 b，常数项为 c，则 _____．
【难度】★
【答案】 ．
【解析】 ，所以 ， ， ，代入得 ．
【总结】本题考察二次项系数、一次项系数、常数项的概念，做题的关键是把函数化为 一般式．
2
例4．已知二次函数 ．
（1）当 时，求函数值；
（2）当 取何值时，函数值为 0？
【难度】★★
【答案】（1） ；（2） 或 ．
【解析】（1）把 代入 得 ；
（2）把 代入 得 ， ．
【总结】本题一方面考察了函数值求解问题，已知自变量的值代入函数解析式即可，另一方面考察了
已知函数值求自变量的值的问题．
例5．下列函数中（x，t为自变量），哪些是二次函数？如果是二次函数，请指出二次项、一次项
系数及常数项．
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
【难度】★★
【答案】（1）是，二次项是 、一次项系数是 、常数项是 ； （2）不是；
（3）是，二次项是 、一次项系数是 、常数项是 ； （4）不是
【解析】形如 （ ）的函数叫做二次函数，其中 叫做二次项、 叫做一次项系数、
是常数项．
【总结】本题考察二次函数的概念，二次项系数、一次项系数、常数项的概念．
例6．已知函数 ．
（1）当 m为何值时，这个函数是二次函数？
（2）当 m为何值时，这个函数是一次函数？
【难度】★★
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）当函数 为二次函数时，则 时，
即 ．
（2）当函数 为一次函数时，
则 ，得 ．
3
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