第13章轴对称13.4课题学习最短路径问题（简答题专练）八年级上册数学把关题分类专练（人教版）（解析版）

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第13 章轴对称 13.4 课题学习最短路径问题（简答题专练）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

1．如图所示，在一条河的两岸有两个村庄，现在要在河上建一座小桥，桥的方向与河岸垂直，设河的宽

度不变，试问：桥建在何处，才能使从 A到B的距离最短？保留作图痕迹并说明理由．

【答案】见解析

【解析】

【分析】

根据 A、B两点在河两侧，桥的方向与河岸垂直，由此关键在于使 AP+BD 最短，利用平行四边形法则即可．

【详解】

如图，作垂直于河岸，使等于河宽，连接，与河岸相交于 P，作，交

于点 D，则且．连接，利用平行四边形的性质可知．根据“两点

之间，线段最短”，可知最短，即从 A到B，路径最短，故桥应建在处．

【点评】

此题考查了轴对称---最短路径问题，要利用“两点之间线段最短”，但许多实际问题没这么简单，需要我

们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题．

2．如图，有一只蚂蚁想从 A点沿正方体的表面爬到 G点，走哪一条路最近？

(1)请你利用部分平面展开图画出这条最短的路线，并说明理由．

(2)探究若这只蚂蚁在正方体上爬行的最短路线，请你找出所有的最短路线，并画出示意.

【答案】如图①，（1）见解析，理由：两点之间线段最短；（2）见解析.

【解析】

【分析】

（1）先把正方体展开，根据两点之间线段最短，即可得出由 A爬到 G的最短途径．（2）分情况讨论，作

图解答即可.

【详解】

（1）如图①，理由：两点之间线段最短．

（2）如图②，这种最短路线有 4条．

【点评】

本题考查了几何体的展开图和最短路线问题，把几何体展开为平面图形是解决“怎样爬行最近”这类问题

的关键．

3．如图，四边形 ABCD 中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在 BC，CD 上分别找一点 M，N，使

△AMN 周长最小，求∠AMN＋∠ANM 的度数．

【答案】∠AMN＋∠ANM＝120°.

【解析】

试题分析：根据要使△AMN 的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出 A关于

BC 和CD 的对称点 A′，A″，即可得出∠AA′M+ A″= HAA′=60°∠ ∠ ，进而得出∠AMN+ ANM=2∠（∠AA

′M+ A″∠）即可得出答案．

试题解析：

作A关于 BC 和CD 的对称点 A′，A″，连接 A′A″，交 BC 于M，交 CD 于N，连接 AM，AN，则 A′A″即为

△AMN 的周长最小值．作 DA 延长线 AH.

∵∠DAB＝120°，

∴∠HAA′＝60°.

∴∠A′＋∠A″＝∠HAA′＝60°.

∵∠A′＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，且∠A′＋∠MAA′＝∠AMN，∠NAD＋∠A″＝∠ANM，

∴∠AMN＋∠ANM＝∠A′＋∠MAA′＋∠NAD＋∠A″＝2( A′∠＋∠A″)＝2×60°＝120°.

点评：本题考查的是轴对称最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和−

垂直平分线的性质等知识，根据已知得出 M，N的位置是解题关键．

4．一个长方体盒子的长、宽、高分别为 7cm、

5cm，9cm.一只虫子想在盒子表面上顶点处爬到顶点处，

请你设计一条最短的爬行路线，求出最短路线的长，并说明理由.

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