第12章全等三角形12.3角的平分线的性质【简答题专练】-八年级上册数学把关题分类专练（人教版）（解析版）

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第12 章全等三角形 12.3 角的平分线的性质【简答题专练】

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、解答题

1．如图，四边形 ABCD 中，AB=AD，AB⊥BC，AD⊥CD，P是对角线 AC 上一点，

求证：PB=PD．

【答案】证明见解析.

【解析】

试题分析：易证△ABC 和△ADC 均为直角三角形，即可证明 RT△ABC≌RT△ADC，可得∠BAC＝∠DAC，即可

证明△BAP≌△DAP，可得 PB＝PD，即可解题．

试题解析：

∵AB=AD，AB⊥BC，AD⊥CD，AC=AC

∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）

∴CB=CD（全等三角形的对应边相等）

∴AC 平分∠BAD（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）

∵AB=AD，∠BAP=∠ADP，AP=AP

∴△APB≌△APD.(SAS)

∴PB=PD. （全等三角形的对应边相等）

点睛：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角相等的性质，本题中求证

RT△ABC≌RT△ADC 和△BAP≌△DAP 是解题的关键．

2．如图，在△ABC 中，D是BC 边上的点（不与点 B，C重合），连结 AD

（1）如图 1,当点 D是BC 边上的中点时，则 S△ABD:S△ACD=_________（直接写出答案）

（2）如图 2，当 AD 是∠BAC 的平分线时，若 AB=m，AC=n，S△ABD:S△ACD=_________ (用含 m,n 的代数式

表示)．

（3）如图 3，AD 平分∠BAC，延长 AD 到E，使得 AD=DE,连结 BE，如果 AC=2,AB=4,S△BDE =6,求△ABC

的面积．

【答案】（1）1：1；（2）m∶n；（3）9

【解析】

【分析】

（1）过 A作AE⊥BC 于E，根据三角形面积公式求出即可；

（2）过 D作DE⊥AB 于E，DF⊥AC 于F，根据角平分线性质求出 DE=DF，根据三角形面积公式求出即

可；

（3）根据已知和（1）（2）的结论求出△ABD 和△ACD 的面积，即可求出答案．

【详解】

解：（1）过 A作AE⊥BC 于E，

∵点 D是BC 边上的中点，

∴BD=DC，

∴SABD：S△ACD=（×BD×AE）：（ ×CD×AE）=1：1，

故答案为：1：1；

（2）过 D作DE⊥AB 于E，DF⊥AC 于F，

∵AD 为∠BAC 的角平分线，

∴DE=DF，

∵AB=m，AC=n，

∴SABD：S△ACD=（×AB×DE）：（ ×AC×DF）=m：n；

（3）∵AD=DE，

∴由（1）知：S△ABD：S△EBD=1：1，

∵S△BDE=6，

∴S△ABD=6，

∵AC=2，AB=4，AD 平分∠CAB，

∴由（2）知：S△ABD：S△ACD=AB：AC=4：2=2：1，

∴S△ACD=3，

∴S△ABC=3+6=9，

故答案为：9．

【点睛】

本题考查了角平分线性质和三角形的面积公式，能根据（1）（2）得出规律是解此题的关键．

3．已知，直线 AB∥DC，点 P为平面上一点，连接 AP 与CP．

（1）如图 1，点 P在直线 AB、CD 之间，当∠BAP=60°，∠DCP=20°时，求∠APC 度数．

（2）如图 2，点 P在直线 AB、CD 之间，∠BAP 与∠DCP 的角平分线相交于点 K，写出∠AKC 与∠APC

之间的数量关系，并说明理由．

（3）如图 3，点 P落在 CD 外，∠BAP 与∠DCP 的角平分线相交于点 K，∠AKC 与∠APC 有何数量关系？

并说明理由．

【答案】（1）80°；（2）详见解析；（3）详见解析

【解析】

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