第12讲 中位线2021年新九年级数学暑假精品课程（华师大版）（解析版）

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第12 讲 中位线
【学习目标】
熟悉并掌握中位线的性质
灵活运用中位线解决几何中的问题
【基础知识】
考点一、三角形的中位线
1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
考点诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.
（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的 4 个小三角形.因而每个小三角形的周长
为原三角形周长的
1
2
，每个小三角形的面积为原三角形面积的
1
4
.
（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.
考点二、顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形的形状
顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.
【考点剖析】
考点一：三角形的中位线
例1．如图，已知 P、R 分别是长方形 ABCD 的边 BC、CD 上的点，E、F 分别是 PA、PR 的中点，点 P
在 BC 上从 B 向 C 移动，点 R 不动，那么下列结论成立的是（ ）
　　　
　　A．线段 EF 的长逐渐增大 　　　　B．线段 EF 的长逐渐变小
　　C．线段 EF 的长不变 　　　　　　D．无法确定
【答案】C；
1
【解析】连 AR，由 E、F 分别为 PA，PR 的中点知 EF 为△PAR 的中位线, 则
1
2
EF AR
，而 AR 长不变，故
EF 大小不变.
【总结】当条件中含有中点的时候，要将它与中位线联系起来，进行联想，必要时添加辅助线，构造中位
线图形．
举一反三：
【变式】在△ABC 中，中线 BE、CF 交于点 O，M、N 分别是 BO、CO 中点，则四边形 MNEF 是什么特殊四边形？
并说明理由．
【答案】5；
解：四边形 MNEF 是平行四边形．
理由如下：∵BE、CF 是中线，
∴E、F 分别是 AC、AB 的中点，
∴EF 是△ABC 的中位线，
∴EF∥BC 且 EF= BC，
∵M、N 分别是 BO、CO 中点，
∴MN 是△OBC 的中位线，
∴MN∥BC 且 MN= BC，
∴EF∥MN 且 EF=MN，
∴四边形 MNEF 是平行四边形．
例 2、如图，△ABC 中，D、E 分别是 BC、AC 的中点，BF 平分∠ABC，交 DE 于点 F，若 BC＝6，则 DF 的长是
（　　）
A．2 B．3 C.
5
2
D．4
2
【思路】利用中位线定理，得到 DE∥AB，根据平行线的性质，可得∠EDC＝∠ABC，再利用角平分线的性质
和三角形内角外角的关系，得到 DF＝DB，进而求出 DF 的长．
【答案】
解：在△ABC 中，D、E 分别是 BC、AC 的中点
∴DE∥AB
∴∠EDC＝∠ABC
∵BF 平分∠ABC
∴∠EDC＝2∠FBD
在△BDF 中，∠EDC＝∠FBD＋∠BFD
∴∠DBF＝∠DFB
∴FD＝BD＝
1
2
BC＝
1
2
×6＝3．
【总结升华】三角形的中位线平行于第三边，当出现角平分线，平行线时，一般可构造等腰三角形，进而
利用等腰三角形的性质解题．
例 3、如图所示，在△ABC 中，M 为 BC 的中点，AD 为∠BAC 的平分线，BD⊥AD 于 D，AB＝12，AC＝18，求
MD 的长．
【思路】本题中所求线段 MD 与已知线段 AB、AC 之间没有什么联系，但由 M 为 BC 的中点联想到中位线，另
有 AD 为角平分线和垂线，根据等腰三角形“三线合一”构造等腰三角形 ABN，D 为 BN 的中点，DM 即为中位
线，不难求出 MD 的长度．
【答案】
解：延长 BD 交 AC 于点 N．
∵ AD 为∠BAC 的角平分线，且 AD⊥BN，
3
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