第12讲 解直角三角形（解析版）

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第 12 讲 解直角三角形
【学习目标】
解直角三角形是九年级上学期第二章第二节的内容，通过本节的学习，需要掌握直角三角形中，除直
角外其余五个元素之间的关系，并熟练运用锐角三角比的意义解直角三角形．难点在于，若一个三角形不
是直角三角形，要有意识把它化归为解直角三角形的问题．
【基础知识】
一：解直角三角形的基本类型
在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形．
在 中，如果 ，那么它的三条边和两个锐角之间有以下的关系：
（1）三边之间的关系：
（2）锐角之间的关系：
（3）边角之间的关系：
，
，
【考点剖析】
考点一：解直角三角形的基本类型
例1． 在 中 ， 已 知 ， ， c = 8 ， 求 这 个 直 角 三 角 形 的 其 他 边 和 角 （
， ， ， ）．
【难度】★
【答案】 ， ， ．
【解析】解： ；
在 中， ，则 ，解得： ；
在 中， ，则 ，解得： ．
【总结】已知斜边和一锐角度数时，求直角边时，用锐角的正弦或余弦．
例2． 在 中 ， ， ， b = 9 ，解这个直角三角形（ ，
， ， ）．
【难度】★
【答案】 ， ， ．
【解析】解： ；
1
例题解析
在 中， ，则 ，解得： ；
在 中， ，则 ，解得： ．
【总结】已知直角边和一锐角度数时，求直角边时用锐角的正切或余切，求斜边时用锐角的正弦或余弦．
例3．在 中，已知 ，c = 8，a = 6，求这个直角三角形的其他边和角（利用计算器计
算）．
【难度】★
【答案】 ， ， ．
【解析】解： ．在 中， ，则 ．
利用计算器解得： ， ．
【总结】已知直角三角形的两条边，利用勾股定理求另一条边，利用锐角三角比确定锐角的度数．
例4．在 中，已知 ，a = 7，b = 9，解这个直角三角形（利用计算器计算）．
【难度】★
【答案】 ， ， ．
【解析】解： ，
在 中， ，则 ，利用计算器可得： ，
∴ ．
【总结】已知直角三角形的两条边，利用勾股定理求另一条边，利用锐角三角比确定锐角的度数．
（1）三边之间的关系：
（2）锐角之间的关系：
（3）边角之间的关系：
师生总结
解直角三角形的基本类型有哪些？并简述解法．
2
，
，
例5． 中， ，AB = 4，AC = ，BC = ______，= ______．
【难度】★
【答案】 ， ．
【解析】解： ．
在 中， ，则 ，
∴ ．
【总结】已知直角三角形的两条边，利用勾股定理求另一条边，利用锐角三角比确定锐角的度数．
例6．在 中， ，则 = ______．
【难度】★
【答案】60°．
【解析】解：设 ， ， ，
∵ ，∴ 为直角三角形．
在 中， ，则 ，∴ ．
【总结】当已知直角三角形的三边比为 时，则这个直角三角形中的最小角为 30°．
例7． 中， ， ，AC + BC = 2，则 AB 的长是______．
【难度】★★
【答案】 ．
【解析】解：在 中， ，又 ，则 ．
设 ，则 ， ．
∵AC + BC = 2， ∴ ．解得： ， ∴ ．
【总结】当直角三角形中含有 30°的锐角时，则三边比为 ．
例8．在直角三角形中， ， ，a – b =2，a、b、c是 、 、 所
3
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