第11讲 相似三角形2021年新九年级数学暑假精品课程（华师大版）（原卷版）

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第11 讲 相似三角形
【学习目标】
1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算；
2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何
把实际问题抽象为数学问题）.
【基础知识】
考点一、相似三角形的应用
1.测量高度
测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.
考点诠释：测量旗杆的高度的几种方法：
平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法
2.测量距离
测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。
　1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段 DC、BD、CE 的距离（长度），根据相似三角形的性质，求
出 AB 的长.
2．如乙图所示，可先测 AC、DC 及 DE 的长，再根据相似三角形的性质计算 AB 的长.
　　
考点诠释：　
1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离;
　　2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等
于其对应高的比;
　　3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）;
4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角．
考点二、相似三角形的性质
1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.
1
2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比.
相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.
考点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.
3. 相似三角形周长的比等于相似比.
∽ ，则
由比例性质可得：
4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方.
∽ ，则 分别作出 与 的高 和 ，则
2
1 1
2 2 =
1 1
2 2
ABC
A B C
BC AD k B C k A D
Sk
SB C A D B C A D
 
 
 
 
   
 
△
△
考点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.
【考点剖析】
考点一：相似三角形的性质
2
例1．如图，D、E分别是△ABC 的边 AB、BC 上的点，且 DE∥AC，AE、CD 相交于点 O，若
S△DOE：S△COA=1：25，则 S△BDE 与S△CDE 的比是（　　）
A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：25
举一反三
【变式】如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E在边 DC 上，DE：EC=3：1，连接 AE 交BD 于点 F，则
△DEF 的面积与△BAF 的面积之比为（　　）
　A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：1
例 2.如图所示，已知△ABC 中，AD 是高，矩形 EFGH 内接于△ABC 中，且长边 FG 在 BC 上，矩形相邻两边
的比为 1：2，若 BC=30cm，AD=10cm.求矩形 EFGH 的面积.
　　　　　　　　
举一反三：
【变式】有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为 1∶200 和 1∶500，求：甲地图与乙地图
的相似比和面积比.
考点二：相似三角形的应用
3
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