第10章 相交线 平行线和平移【专项训练】-2020-2021学年七年级数学下册期末复习通关秘笈（沪科版）

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第 10 章 相交线 平行线和平移专项训练
第 1 节 邻补角、对顶角
知识点一、邻补角与对顶角
1．如图所示，AB 和CD 相交于点 O，OM 平分∠AOC，ON 平分∠BOD，试说明 OM 和ON 成一条直线。
【答案与解析】
解：∵ OM 平分∠AOC，ON 平分∠BOD（已知），
∴ ∠AOC=2∠AOM，∠BOD=2∠BON（角平分线定义）。
∵∠AOC=∠BOD（对顶角相等），∴∠AOM=∠BON（等量代换）。
∵∠AON+∠BON=180°（邻补角定义），∴∠MON=∠AON+∠AOM=180°（等量代换），
∴ OM 和ON 共线。
【总结升华】要得出 OM 和ON 成一条直线，就要说明∠MON 是平角，从图中可以看出∠AON 是∠MON
和平角∠AOB 的公共部分，所以只要证明它们的非公共部分相等，即∠AOM 和∠BON 相等，本题得证。
2.如图所示，已知直线 AB、CD 相交于点 O，OE 平分∠BOD，OF 平分∠COE，∠2:∠1＝4:l，求
．
【答案与解析】
解：设∠1＝x，则∠2＝4x．
∵ OE 平分∠BOD，∴ ∠BOD＝2∠1＝2x．
∵ ∠2+∠BOD＝180°，即 4x+2x＝180°，∴ x＝30°．
∵ ∠DOE+∠COE＝180°，∴ ∠COE＝150°．
又∵ OF 平分∠COE，∴ ∠COF＝ ∠COE＝75°．
∵ ∠AOC＝∠BOD＝60°，∴ ∠AOF＝∠AOC+∠COF＝60°+75°＝135°．
【总结升华】涉及有比值的题设条件，如 a:b＝m:n，在解题时设 ， ，这是常用的用方程思
想解题的方法．
举一反三：
【变式】已知 α的补角是一个锐角，有 3人在计算 时的答案分别是 32°、87°、58°，其中只有一个答案
是正确的，求 的度数．
【答案】
解法 1：∵ α 的补角是一个锐角，
∴ α 是一个钝角，即 90°＜α＜180°，
∴ ．
由已知三人计算出的答案分别为 32°、87°、58°，
可知 ．
∴ ．
解法 2：由题意可知 是一个钝角，即 ．
如果 ，那么 ，不满足 ；
如果 ，那么 ，不满足 ；
如果 ，那么 ，满足 ，
所以此人计算的答案正确．所以 ．
【总结升华】在处理数学问题中的误选答案问题时，常采用验算法，如本题的解法 2：先利用假设求出相
应的 α的度数，再验证是否正确．
3.（1）如图（1），已知直线 a、b相交于点 O，则（1）图中共有几对对顶角?几对邻补角？
（2）如图（2），已知直线 a、b、c、d是经过点 O的四条直线，则图（2）中共有几对对顶角（不含平
角）?几对邻补角？
【答案与解析】
解：（1）2对对顶角，4对邻补角。
（2）将图（2）拆分为下图：
通过观察图形．不难发现 a、b、c、d四条直线两两相交，最多有 6个交点，而由（1）知：每个交点处
有两对对顶角，有四对邻补角，
对顶角的对数： （对）；邻补角的对数: (对)
答：图中共有 12 对对顶角，24 对邻补角
【总结升华】本例分析问题的方法是通过直线的移动，将直线相交于一点转化为直线两两相交．这样移动，
2
可将抽象的问题直观化．因为 n条直线两两相交，最多有 个交点．每个交点处有两组对顶角，故
n条直线相交于一点共有 n(n-1)对对顶角，2n(n-1)对邻补角。
举一反三：
【变式】（2015•青岛模拟）如图，直线 AB 与CD 相交所成的四个角中，∠1的邻补角是　 　 ，∠1的对
顶角是　 　 ．
【答案】∠ 2 和∠ 4；∠ 3.
由图形可知，∠1的对顶角是∠3，∠1的邻补角是∠2和∠4．
知识点二、垂线
4．下列语句：
①两条直线相交，若其中一个交角是直角，那么这两条直线垂直。
②一条直线的垂线有无数条。
③空间内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
④两条直线相交成四个角，如果有两个角相等，那么这两条直线垂直。
其中正确的是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
【答案】①②
【解析】解此题必须严格按照垂线的定义“两条直线相交成直角”及垂线的性质“过平面内任意一点，即
过直线上或直线外任意一点，有且仅有一条直线与已知直线垂直”来作判断。
①正确；②正确，过任意一点都可以作；对于③只有在“同一平面内”才成立，因为空间内，当这点在直
线上时，过这点并非只有一条直线与已知直线垂直，故③错误；④错误，必须是两个邻角相等，如下图：
【总结升华】应用垂线的定义及垂线的性质时要把握其中的本质要求：
①关于垂线的定义：要判断两条直线是否垂直，只需看它们相交所成的四个角中，是否有一个角是直角，
两条线段垂直，是指这两条线段所在的直线垂直；
②关于垂线的性质：平面内，过任意一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，这条性质说明了已知直线的
垂线的“存在性”和“唯一性”，尤其值得注意的是性质中的“任意一点”可能在这条已知直线上，也可
能在这条已知直线外。
举一反三：
【变式】在铁路旁有一城镇，现打算从城镇修一条和铁路垂直的道路，这种方案是唯一的，是因为( )
A．经过两点有且只有一条直线
B．两点之问的所有连线中，线段最短
3
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