第10讲 锐角三角比的意义（解析版）

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第 10 讲 锐角三角比的意义
【学习目标】
锐角的三角比的意义是九年级数学上学期第二章第一节的内容．锐角三角比的概念是以相似三角形为
基础建立起来的，本讲主要讲解锐角的正切和余切、正弦和余弦的概念，重点是会根据直角三角形中两边
的长求相应的锐角的三角比的值，难点是在几何图形和直角坐标系中灵活运用锐角的三角比进行解题，为
解直角三角形做好准备．
【基础知识】
一：正切和余切
1.正切
直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比
叫做这个锐角的正切（tangent）．锐角 A的正切记作 tan A．
．
2.余切
直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比
叫做这个锐角的余切（cotangent）．锐角 A的余切记作 cot A．
．
二：正弦和余弦
1.正弦
直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比
叫做这个锐角的正弦（sine）．锐角 A的正弦记作 sin A．
．
2.余弦
直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比
叫做这个锐角的余弦（cosine）．锐角 A的余弦记作 cos A．
．
三：锐角的三角比
1
一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角的三角比．
【考点剖析】
考点一：正切和余切
例1．如图，在 中， ， 的对边是______， 的邻边是______
的对边是______， 的邻边是______．
【难度】★
【答案】 ．
【解析】在直角三角形中，锐角的对边是指该锐角相对的直角边，
邻边是指该锐角相邻的直角边，直角所对的边叫斜边．
【总结】考查学生对“对边、邻边”的概念理解．
例2．如图，在 中， ， ，垂足为点 Q．
（1） 在 中， 的对边是______， 的邻边是______；
在 中， 的对边是______， 的邻边是______．
（2） 在 ____中， 的对边是 MP；在 ____中， 的邻边是 NQ．
（3） 的邻边是______， 的对边是______．
定义 表达式 取值范围 相互关系
正
切（ 为锐
角）
余
切（ 为锐
角）
正
弦（ 为锐
角）
余
弦（ 为锐
角）
2
【难度】★
【答案】（1） ； ；（2） ； ；
（3） ．
【解析】图中有 3个直角三角形，同一个锐角有可能属于两个直角三角形，注意审题清楚即
可．
【总结】考查“对边、邻边”的基础概念．
例3．如图，在 中， ， ，垂足为点 Q．
（1） ．
（2）______，______．（用正切或余切表示）
【难度】★
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】直角三角形中一个锐角 的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切（ ），表示一个角的正切，
先判定该锐角属于哪个直角三角形，再找对应的对边和邻边．
【总结】考查学生对锐角的正切的定义及理解．
例4．在 中， ，AC = 4，BC = 5，求 tan A、cot A、tan B、cot B的值．
【难度】★
【答案】 ．
【解析】画示意图，很直观的可以确定锐角的对边和邻边，
∠
A和
∠
B的正切和余切即可表示．
【总结】考查学生对锐角的正切和余切的理解．
例5．在 中， ，AC = 4，AB = 5，求 tan A、cot A、tan B、cot B的值．
【难度】★
【答案】 ．
【解析】画示意图（略），由勾股定理求得 ，再来表示 的正切和余切值．
3
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