第8讲 平面向量的线性运算（解析版）

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第 8 讲 平面向量的线性运算
【学习目标】
平面向量的线性运算是九年级数学上学期第一章第四节的内容．在八年级下学期第三章第四节“平面
向量及其加减运算”中，我们学习了平面向量的相关概念和加减运算的法则，本节的学习需要建立在此基
础上．本讲主要讲解实数与向量相乘，以及向量的线性运算，重点是平面向量的有关概念及线性运算，难
点是在几何图形中对目标向量进行线性表示．
【基础知识】
一：实数与向量相乘
1.平面向量的相关概念
向量：既有大小、又有方向的量叫做向量；
向量的长度：向量的大小也叫做向量的长度（或向量的模）；
零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作 ；
相等的向量：方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量；
互为相反向量：方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反向量；
平行向量：方向相同或相反的两个向量叫做平行向量．
2.平面向量的加减法则
几个向量相加的多边形法则；
向量减法的三角形法则；
向量加法的平行四边形法则．
3.实数与向量相乘的运算
设k是一个实数， 是向量，那么 k与 相乘所得的积是一个向量，记作 ．
如果 ，且 ，那么 的长度 ；
的方向：当 k > 0 时 与 同方向；当 k < 0 时 与 反方向．
如果 k = 0 或 ，那么 ．
4.实数与向量相乘的运算律
设m、n为实数，则
； ； ．
平行向量定理
如果向量 与非零向量 平行，那么存在唯一的实数 m，使 ．
5.单位向量
单位向量：长度为 1 的向量叫做单位向量．设 为单位向量，则 ．
单位向量有无数个；不同的单位向量，是指它们的方向不同．
1
对于任意非零向量 ，与它同方向的单位向量记作 ．
由实数与向量的乘积可知： ， ．
二：向量的线性运算
1.向量的线性运算
向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算．
如 、 、 、 等，都是向量的线性运算．
一般来说，如果 、 是两个不平行的向量， 是平面内的一个向量，那么 可以用 、 表示，并且通常
将其表达式整理成 的形式，其中 x、y是实数．
2.向量的合成与分解
如果 、 是两个不平行的向量， （m、n是实数），那么向量 就是向量 与 的合成；也
可以说向量 分解为 、 两个向量，这时，向量 与 是向量 分别在 、 方向上的分向量，
是向量 关于 、 的分解式．
平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解．
【考点剖析】
考点一：实数与向量相乘
例1．下列命题中的假命题是（ ）
（A）向量 与 的长度相等
（B）两个相等向量若起点相同，则终点必相同
（C）只有零向量的长度等于 0
（D）平行的单位向量都相等
【难度】★
【答案】D
【解析】D选项，平行的单位向量方向可以相同，此时是相等向量，也可以方向相反，此时是相反向量．
【总结】此题主要考查向量的相关概念．
例2．填空：
； ；
； ；
； ．
【难度】★
2
【答案】 ； ； ； ； ； ．
【解析】此题主要考查向量的加减法则，另外，加减法则之间可以转换，比如 是利用减法法
则，箭头指向被减数，同时 ，这样运算复杂了，但也是一种思路．
【总结】此题主要考查向量的加减运算法则．
例3．如图，已知平行四边形 ABCD，对角线 AC 与BD 相交于点 O．设 ， ，试用 、
表示下列向量：
， ， ， ， ， ．
【难度】★
【答案】 ．
【解析】利用平行四边形对边平行且相等 ,对角线互相平分的性质来求解以上向量 : ；
； ； ； ； ．
【总结】此题主要考查向量的加减运算法则．
例4．计算： ；
；
．
【难度】★
【答案】 ．
【解析】（1） ；
（2） ；
（3） ．
【总结】此题主要考查实数与向量相乘的运算定律，以及去括号法则．
例5．用单位向量 表示下列向量：
3
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