第6讲 相似三角形的性质 （解析版）

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第 6 讲 相似三角形的性质
【学习目标】
相似三角形的性质是九年级数学上学期第一章第三节的内容，本讲主要讲解相似三角形
的 3 个性质定理．重点是灵活应用相似三角形的性质，难点是相似三角形的性质与判定的互
相结合．
【基础知识】
一：相似三角形性质定理 1
相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．
二：相似三角形性质定理 2
相似三角形周长的比等于相似比．
三：相似三角形性质定理 3
相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
【考点剖析】
考点一：一：相似三角形性质定理 1
例1．已知 ∽ ，顶点 A、B、C分别与 A1、B1、C1对应， ，BE、B1E1分别是
它们的对应中线，且 ．求 B1E1的长．
【难度】★
【答案】4．
【解析】解： ， 、 分别是对应中线，
即 ，
【总结】本题考查相似三角形对应中线的比等于相似比．
例2．已知 ∽ ，顶点 A、B、C分别与 A1、B1、C1对应， ， , 的平
分线 A1D1的长为 6，求 的平分线的长．
【难度】★
【答案】8．
【解析】解： ， 、 分别是 、 的平分线，
即 ， 即 的平分线的长为 8．
【总结】本题考查相似三角形对应角平分线的比等于相似比．
例3．求证：相似三角形对应高的比等于相似比．
【难度】★★
【 解 析 】 已 知 ： 如 图 ， ， 且 相 似 比 为 ， 、 分 别 是 、 的 高
1
．
求证： ．
证明： ， ， ；
又 、 分别是 、 的高，
， ， ．
【总结】本题考查相似三角形的判定和性质．
例4．求证：相似三角形对应中线的比等于相似比．
【难度】★★
【解析】已知：如图， ，且相似比为 ， 、 分别是边 、 的
中线．
求证： ．
证明： ，
， ；
又 、 分别是边 、 的中线， ， ，
， ， ， ．
【总结】本题考查相似三角形的判定和性质的运用．
例5．求证：相似三角形对应角平分线的比等于相似比．
【难度】★★
2
【解析】已知：如图， ，且相似比为 ， 、 分别是 、 的 角 平 分
线．
求证： ．
证明： ，
， ， ；
又 、 分别是 、 的角平分线，
， ，
， ．
【总结】本题考查相似三角形的判定和性质．
例6．如图， 和 中，AD 和BE 是 的 高 ， 和 是 的高， 且
， ．求证：
【难度】★★
【解析】
证明： ，又 ， ，
3
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