八年级数学暑假精品课程（沪教版）第18讲 正反比例函数综合（原卷版）

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第 18 讲 正反比例函数综合
【学习目标】
正、反比例函数是八年级数学上学期第十八章内容，主要对正、反比例函数的图像及性质综合题型进
行讲解，重点是正、反比例函数性质的灵活运用，难点是数形结合思想的应用的归纳总结．通过这节课的
学习为我们后期学习一次函数的应用提供依据．
【基础知识】
一、正反比例函数综合
1、正比例函数
1、如果两个变量的每一组对应值的比值是一个常数（这个常数不等于零），那么就说这两个变量成
正比例，用数学式子表示两个变量 x、y成正比例，就是 ，或表示为 ，k是不等于零的常数．
2、解析式形如 （k是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，其中常数 k叫做比例系数； 正
比例函数 的定义域是一切实数.确定了比例系数，就可以确定一个正比例函数的解析式．
3、一般地，正比例函数 （k是常数，k≠0）的图象是经过（0，0），（1，k）这两点的一条直线，
我们把正比例函数 的图象叫做直线 ．
4、正比例函数图像的性质：
（1）当 k>0时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量 x的值逐渐增大时，y值也随着逐渐增
大．
（2）当 k<0时，正比例函数的图像经过第二、四象限；自变量 x的值逐渐增大时，y值也随着逐渐减
小．
2、反比例函数
1、如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例，用
数学式子表示两个变量 x、y成反比例，就是 ，或表示为 ，其中 k是不等于零的常数.
2、 解析式形如 （k是常数， ）的函数叫做反比例函数，其中 k也叫做比例
系数．反比例函数 的定义域是不等于零的一切实数．
3、反比例函数的图像：按照作函数图像的一般步骤，通过列表、描点、连线，来画反比例函数
（k是常数，k≠0）的图像.反比例函数 （k是常数，k≠0）的图像叫做双曲线，它有两支．
4、反比例函数图像的性质：
（1）当 k>0时，函数图像的两支分别在第一、三象限；在每个象限内，当自变量 x的值逐渐增大时，y的
值随着逐渐减小；
（2）当 k<0时，函数图像的两支分别在第二、四象限；在每个象限内，当自变量 x的值逐渐增大时，y的
值随着逐渐增大；
（3）图像的两支都无限接近于 x轴和 y轴，但不会与 x轴和 y轴相交．
【考点剖析】
例1．函数 中，自变量 x的取值范围是________________．
1
例2．函数 与 的图像的交点坐标是_______________．
例3．已知 ， ，则 _____________．
例4．函数 的图像经过第二、四象限，则 的图像不经过_____________象限．
例5．已知直线 与双曲线 的一个交点 A的坐标为 ；则 =_________；=____
___；它们的另一个交点坐标是___________．
例6．若 与 z成正比例关系，z与 成反比例关系，则 y与 成___________关系．
例7．正比例函数 的图像经过点 A（1， ）和点 B（ ， ），反比例函数 的图像
经过点 B，则此反比例函数的解析式为_____________________．
例8．直线 OA 与反比例函数 的图象在第一象限交于 A点，AB⊥x轴于点 B，△OAB 的面
积为 2，则 k＝_________．
例9．若直线 与双曲线 在同一坐标系内的图像无交点，则 、 的关
系是___________．
例10．若 ，则正比例函数 与反比例函数 在同一坐标系中的大致图象可能是（
）
例11．直线 与双曲线 交于 A、B两点，过点 A作AM⊥x轴，垂足为 M，连结 BM，若
=2，则 k的值是（ ）．
A．B．C．D．
例12．函数 的图像经过 ，则下列各点中在 图像上的是（）
A．B．C．D．
2
例13．点 A、B（2，a）在反比例函数图像上，点 B同时在正比例函数图像上．
（1）求这个反比例函数的解析式；
（2）求 a的值及这个正比例函数的解析式．
例14．已知正比例函数和反比例函数的图象相交于点 和 两点，
求：（1）这两个函数解析式；（2） 的值．
例15．已知正比例函数 和反比例函数 的图像都经过 A（ ， ），
求：（1） 的值；（2）正比例函数的解析式；（3）求出它们的交点坐标．
3
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