八年级数学暑假精品课程（沪教版）第11讲 根的判别式及其应用（教师版）

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第 11 讲 根的判别式及其应用
【学习目标】
根的判别式是一元二次方程中重要的知识点，可以通过根的判别式在不解方程的情况下判断出根的个
数情况，也可以在已知根的情况之下求出方程中所含字母的取值范围．本节重点能运用根的判别式，判别
方程根的情况，会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围．
【基础知识】
一：判别式的值与根的关系
1.一元二次方程根的判别式：我们把 叫做一元二次方程 的根的判别式，通常
用符号“ ”表示，记作 ．
2.一元二次方程 ，
当 时，方程有两个不相等的实数根；
当 时，方程有两个相等的实数根；
当 时，方程没有实数根．
二：根的判别式的应用
（1）不解方程判定方程根的情况；
（2）根据参数系数的性质确定根的范围；
（3）解与根有关的证明题．
三：韦达定理
韦达定理：如果 是一元二次方程 的两个根,由解方程中的公式法得,
， ．
那么可推得 ． 这是一元二次方程根与系数的关系
【考点剖析】
考点一：判别式的值与根的关系
例1．选择：
（1）下列关于
x
的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）
（A）
01
2
x
（B）
012
2
xx
（C）
032
2
xx
（D）
032
2
xx
（2）不解方程，判别方程 的根的情况是（ ）
（A）有两个相等的实数根 （B）有两个不相等的实数根
（C）只有一个实数根 （D）没有实数根
（3）方程 的根的情况是( )
（A）有两个相等实根 （B）有两个不等实根
（C）没有实根 （D）无法确定
（4）一元二次方程 的根的情况为（ ）
1
（A）有两个不相等的实数根 （B）有两个相等的实数根
（C）只有一个实数根 （D）没有实数根
【难度】★
【答案】（1）D；（2）D；（3）B；（4）A．
【解析】（1）A： ， ， ， ，方程无实根；
B： ， ， ， ，方程有两个相等实根；
C： ， ， ， ，方程无实根；
D： ， ， ， ，方程有两不等实根实根，故选 D；
（2） ， ， ， ，方程无实根，故选 D；
（3） ， ， ， ，方程有两不等实根，故选 B；
（4） ， ， ， ，方程有两个相等实根，故选 A．
【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，先列出方程中的 、 、 ，再代值计算 ，
根据 与 0的大小关系确定方程根的情况，注意 、 异号时则必有两不等实根．
例2．不解方程，判别下列方程的根的情况：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
【难度】★
【答案】（1）方程有两不等实根；（2）方程无实数根；（3）方程有两相等实根；
（4）方程有两不等实根．
【解析】（1） ， ， ， ，方程有两不等实根；
（2） ， ， ， ，方程无实数根；
（3） ， ， ， ，方程有两相等实根；
（4） ， ， ， ，方程有两不等实根．
【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，先将方程整理成一般形式，列出方程中的 、
、 ，再代值计算 ，根据 与 0的大小关系确定方程根的情况，注意 、 异号时则必有两不等实根．
例3．关于 的方程 （其中 是实数）一定有实数根吗？为什么？
【难度】★
【答案】一定有．
【解析】∵ ， ， ，
2
∴ 恒成立，可知方程一定有实数根．
【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，对于含有字母系数的一元二次方程，只需要对
最终的 值进行化简分析即可确定 的值与 0的大小关系，进而确定方程根的情况．
例4．已知关于 的一元二次方程 根的判别式的值为 4，求 的值．
【难度】★
【答案】0．
【解析】∵ ， ， ，
∴ ，整理即得 ，
解得： ， ，同时方程是一元二次方程，知 ，故 ，
由此得 ．
【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，对于含有字母系数的一元二次方程，尤其是二
次项系数中含有字母的情况，一定要注意字母所隐含的取值范围，即二次项系数不能为 0．
例5．已知方程组 的解是 ，试判断关于 的方程 的根的情况．
【难度】★★
【答案】方程无实数根．
【解析】方程组 的解是 ，代入即得： ，可解得： ，
此时方程即为 ，其中 ， ， ， ，可知方程无实数根．
【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，对于系数含有字母的情况，根据题目条件确定
字母取值，再确定其 值，判定方程解的情况．
例6．当 取何值时，关于 的方程 ，
（1）有两个不相等的实数根？ （2）有两个相等的实数根？（3）没有实数根？
【难度】★★
【答案】（1） ；（2） ；（3） ．
【解析】对此方程， ， ， ，则
，由此可知，
（1）当 ，即 时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当 ，即 时，方程有两两个相等的实数根；
3
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