八年级数学暑假精品课程（沪教版）第5讲 二次根式的运算（教师版）

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第 5 讲 二次根式的运算
【学习目标】
二次根式的加减法和乘除法是八年级数学上学期第一章第一节内容，是二次根式的加、减、乘、除、
乘方、开方的混合运算．它是以二次根式的概念和性质为基础，同时又紧密地联系着整式、分式的运算，
也可以说它是运算问题在初中阶段一次总结性、提高性的综合学习．
【基础知识】
1. 二次根式的加法和减法：
先把各个二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式分别合并（化简 合并）．
2、二次根式的乘法和除法
（1）两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变；
（2）两个二次根式相除，被开方数相除，根指数不变．
【考点剖析】
考点一：二次根式的加法和减法
例 1．计算：
（1） ； （2） ．
【难度】★
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）原式 ；
（2）原式 ．
【总结】本题主要考查二次根式的加减运算，注意先化简后合并．
例 2．计算：
（1） ； （2） ．
【难度】★
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1） ；
（2） ．
【总结】本题主要考查二次根式的加减运算，注意先化简后合并．
1
例 3．计算：
（1） ； （2） ．
【难度】★
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）原式 ；
（2）原式 ．
【总结】本题主要考查二次根式的加减运算，注意先化简后合并．
例 4．如图，长方形内有两个正方形，面积分别为 4 和 2，求阴影部分的面积．
【难度】★
【答案】 ．
【解析】阴影部分的宽为 ，长为 ．
【总结】本题主要考查利用二次根式的运算求几何图形的面积．
例 5．计算：
（1） ；
（2） ；
（3） ．
【难度】★★
【答案】（1） ；（2） ；（3） ．
【解析】（1）由题可知： ，则原式 ；
（2）原式 ；
（3）原式
2
= ．
【总结】本题主要考查二次根式的加减运算，注意先化简后合并．
例 6．先化简，再求值： ，其中 ， ．
【难度】★★
【答案】 ．
【解析】原式
，
当 ， 时，原式= ．
【总结】本题主要考查二次根式的化简求值，注意先化简再带值计算．
例 7．设直角三角形的两条直角边分别为 ，斜边为 ，周长为 ．
（1）如果 ，求 ； （2）如果 ，求 ．
【难度】★★
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）因为 ，
所以 ；
（2）因为 ，所以 ．
【总结】本题主要考查二次根式的化简以及加法运算在几何图形中的运用．
例 8．解不等式： ．
【难度】★★
【答案】 ．
【解析】由 ，得： ，即 ，所以 ．
【总结】本题主要考查二次根式的运算在解不等式中的运用，注意判断不等式两边所除的数的符号．
3
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