【优质数学竞赛集】2014（模拟赛）七年级数学竞赛讲座：数论的方法与技巧（含详解）

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数学竞赛讲座

数论的方法技巧（上）

　　数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命

力。数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三

言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”。因而有人说：

“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。任何学生，如能

把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数

学方面的工作。”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当

大的比重。

　　小学数学竞赛中的数论问题，常常涉及整数的整除性、带余除法、奇数与偶

数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆。主要的结论有：

　　1．带余除法：若 a，b 是两个整数，b＞0，则存在两个整数 q，r，使得

a=bq+r（0≤r＜b），且 q，r 是唯一的。

　　特别地，如果 r=0，那么 a=bq。这时，a 被 b 整除，记作 b|a，也称 b 是 a 的

约数，a 是 b 的倍数。

　　2．若 a|c，b|c，且 a，b 互质，则 ab|c。

　　3．唯一分解定理：每一个大于 1 的自然数 n 都可以写成质数的连乘积，即

　　其中 p1＜p2＜…＜pk为质数，a1，a2，…，ak为自然数，并且这种表示是唯

一的。（1）式称为 n 的质因数分解或标准分解。[来源:学,科,网 Z,X,X,K]

　　4．约数个数定理：设 n 的标准分解式为（1），则它的正约数个数为：

　　d（n）=（a1+1）（a2+1）…（ak+1）。

　　5．整数集的离散性：n 与 n+1 之间不再有其他整数。因此，不等式 x＜y 与

x≤y-1 是等价的。[来源:学&科&网]

　　下面，我们将按解数论题的方法技巧来分类讲解。[来源:学*科*网 Z*X*X*K]

一、利用整数的各种表示法

　　对于某些研究整数本身的特性的问题，若能合理地选择整数的表示形式，

则常常有助于问题的解决。这些常用的形式有：

　　1．十进制表示形式：n=an10n+an-110n-1+…+a0；

　　2．带余形式：a=bq+r；[来源:学§科§网]

　　4．2 的乘方与奇数之积式：n=2mt，其中 t为奇数。

　　例1 红、黄、白和蓝色卡片各1张，每张上写有 1 个数字，小明将这 4 张卡

片如下图放置，使它们构成1个四位数，并计算这个四位数与它的各位数字之

和的 10 倍的差。结果小明发现，无论白色卡片上是什么数字，计算结果都是

1998。问：红、黄、蓝3张卡片上各是什么数字？

　　解：设红、黄、白、蓝色卡片上的数字分别是 a3，a2，a1，a0，则这个四位数

可以写成： 1000a3+100a2+10a1+a0，它的各位数字之和的 10 倍是

10（a3+a2+a1+a0）=10a3+10a2+10a1+10a0，这个四位数与它的各位数字之和的

10 倍的差是：990a3+90a2-9a0=1998，110a3+10a2-a0=222。

　　比较上式等号两边个位、十位和百位，可得 a0=8，a2=1，a3=2。

所以红色卡片上是 2，黄色卡片上是 1，蓝色卡片上是 8。

例2 在一种室内游戏中，魔术师请一个人随意想一个三位数(a,b,c 依

次是这个数的百位、十位、个位数字)，并请这个人算出 5 个数

与的和 N，把 N 告诉魔术师，于是魔术师就可以说出这个人所想的数。

现在设 N=3194，请你当魔术师，求出数来。

　　解：依题意，得[来源:Zxxk.Com]

　　a+b+c＞14，

　　说明：求解本题所用的基本知识是，正整数的十进制表示法和最简单的不

定方程。

　　例3 从自然数 1，2，3，…，1000 中，最多可取出多少个数使得所取出的

数中任意三个数之和能被 18整除？

　　解：设 a ， b ， c ， d 是所取出的数中的任意4 个数，则

a+b+c=18m，a+b+d=18n，其中 m，n 是自然数。于是 c-d=18（m-n）。

　　上式说明所取出的数中任意2 个数之差是 18的倍数，即所取出的每个数除

以 18所得的余数均相同。设这个余数为 r，则 a=18a1+r，b=18b1+r，c=18c1+r，

　　其中 a1，b1，c1是整数。于是 a+b+c=18（a1+b1+c1）+3r。

　　因为 18| （ a+b+c ），所以 18|3r ，即 6|r，推知 r=0 ， 6， 12 。因为

1000=55×18+10，所以，从 1，2，…，1000 中可取 6，24，42，…，996 共 56

个数，它们中的任意3 个数之和能被 18整除。

　　例4 求自然数 N，使得它能被 5 和49整除，并且包括 1和N在内，它共有

10 个约数。

解：把数 N写成质因数乘积的形式：N=

　　由于N能被 5 和 72=49整除，故a3≥1，a4≥2，其余的指数 ak为自然数或零。

依题意，有（a1+1）（a2+1）…（an+1）=10。

　　由于 a3+1≥2，a4+1≥3，且 10=2×5，故a1+1=a2+1=a5+1=…=an+1=1，

　　即 a1=a2=a5=…an=0，N 只能有 2 个不同的质因数 5 和 7，因为 a4+1≥3＞2，

故由（ a3+1 ）（ a4+1 ） =10 知， a3+1=5 ， a4+1=2 是不可能的。因而

a3+1=2，a4+1=5，即 N=52-1×75-1=5×74=12005。

　　例5 如果 N是 1，2，3，…，1998，1999，2000 的最小公倍数，那么 N等

于多少个 2 与 1 个奇数的积？

　　解：因为 210=1024，211=2048＞2000，每一个不大于 2000 的自然数表示为质

因数相乘，其中 2 的个数不多于 10 个，而 1024=210，所以，N等于 10 个 2 与某

个奇数的积。

　　说明：上述 5 例都是根据题目的自身特点，从选择恰当的整数表示形式入

手，使问题迎刃而解。

二、枚举法

　　枚举法（也称为穷举法）是把讨论的对象分成若干种情况（分类），然后

对各种情况逐一讨论，最终解决整个问题。

　　运用枚举法有时要进行恰当的分类，分类的原则是不重不漏。正确的分类有

助于暴露问题的本质，降低问题的难度。数论中最常用的分类方法有按模的余

数分类，按奇偶性分类及按数值的大小分类等。

　　例 6 求这样的三位数，它除以 11 所得的余数等于它的三个数字的平方和。

　　分析与解：三位数只有900 个，可用枚举法解决，枚举时可先估计有关量

的范围，以缩小讨论范围，减少计算量。

　　设这个三位数的百位、十位、个位的数字分别为 x，y，z。由于任何数除以

11 所得余数都不大于 10，所以 x2+y2+z2≤10，

　　从而 1≤x≤3，0≤y≤3，0≤z≤3。所求三位数必在以下数中：

　　100，101，102，103，110，111，112，120，121，122，130，200，201，

202，211，212，220，221，300，301，310。

　　不难验证只有 100，101 两个数符合要求。

例 7 将自然数 N 接写在任意一个自然数的右面（例如，将 2 接写在 35 的右

面得 352），如果得到的新数都能被 N整除，那么 N称为魔术数。问：小于 2000

的自然数中有多少个魔术数？

解：设P为任意一个自然数，将魔术数N（N＜2000＝接后得，下面对

N为一位数、两位数、三位数、四位数分别讨论。

⑴当N为一位数时， =10P+N，依题意 N︱，则 N︱10P，由于需对

任意数P成立，故 N︱10，所以 N=1，2，5；

⑵当N为两位数时， =100P+N，依题意 N︱，则 N︱100P，故 N|

100，所以 N=10，20，25，50；

⑶当N为三位数时， =1000P+N，依题意 N︱，则 N︱1000P，故 N|

1000，所以 N=100，125，200，250，500；

⑷当N为四位数时，同理可得 N=1000，1250，2000，2500，5000。符合条

件的有 1000，1250。

　　综上所述，魔术数的个数为 14 个。

　　说明：（1）我们可以证明：k 位魔术数一定是 10k的约数，反之亦然。

　　　　（2）这里将问题分成几种情况去讨论，对每一种情况都增加了一个

前提条件，从而降低了问题的难度，使问题容易解决。

例 8 有 3 张扑克牌，牌面数字都在 10 以内。把这 3 张牌洗好后，分别发给

小明、小亮、小光3 人。每个人把自己牌的数字记下后，再重新洗牌、发牌、记数，

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