《中考数学特训营》常考压轴05 最值问题（解析版）

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【十大常考压轴题特训】
特训
05 —— 最值问题
题量﹕10 题；分值﹕每小题 10 分，共计 100 分；推荐时间﹕45 分钟
问题 1．（2019 西藏）
如图，在矩形 中， ， ，动点 满足，则点 到 、 两点距离之和 的
最小值为 　　
A．B．C．D．
【分析】先由，得出动点 P在与 AB 平行且与 AB 的距离是 2的直线 上，作 A关于直线 的对称点 E，连
接AE，BE，则 BE 的长就是所求的最短距离．然后在直角三角形 ABE 中，由勾股定理求得 BE 的值，即
可得到 PA＋PB 的最小值．
【解答】设△ABP 中AB 边上的高是 h．
∵，
AB · h＝ · AB · AD
∴h=
动点 P在与 AB 平行且与 AB 的距离是 2的直线 上，
如图，作 A关于直线 的对称点 E，连接 AE，BE，则 BE 的长就是所求的最短距离．
在Rt △ABE 中，∵AB=6，AE=2+2=4，
∴，
即PA+PB 的最小值为 2．
故选：A．
1
【点评】本题考查了轴对称 最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，
结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
问题 2．（2019•湖南长沙）
如图， 中， ， ， 于点 ， 是线段 上的一个动点，则
CD+BD 的最小值是 　　
A．B．C．D．10
【分析】如图，作 DH ⊥ AB 于H，CM ⊥ AB 于M．由 tan∠A=，设 AE=a，BE=2a，利用勾股定理构建方
程求出 ，再证明 DH=BD，推出 CD+BD=CD+DH，由垂线段最短即可解决问题．
【解答】如图，作 DH ⊥ AB 于H，CM ⊥ AB 于M．
∵BE ⊥ AC，
∴∠ AEB=90°，
tan∠A=，设 AE=a，BE=2a，
则有：，
∴，
∴a＝2 或－2 （舍弃），
∴BE＝2a＝4，
∵AB＝AC，BE ⊥ AC，CM ⊥ AB，
∴CM＝BE＝4（等腰三角形两腰上的高相等）
2
∵∠ DBH＝∠ABE，∠ BHD＝∠ BEA，
∴sin∠DBH＝，
∴DH＝BD，
∴CD＋BD＝CD＋DH，
∴CD＋DH ≥ CM，
∴CD＋BD ≥ 4，
∴CD＋BD 的最小值为 4 ．
方法二：作 CM ⊥ AB 于M，交 BE 于点 D，则点 D满足题意．通过三角形相似或三角函数证得 BD＝
DM，从而得到 CD＋BD＝CM＝4．
故选：B．
【点评】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用
辅助线，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
问题 3．（2019•山东泰安）
如图，矩形 中， ， ， 为 的中点， 为 上一动点， 为 中点，连
接 ，则 的最小值是 　　
A．2B．4C．D．
【分析】根据中位线定理可得出点点 P的运动轨迹是线段，再根据垂线段最短可得当 BP ⊥时，PB 取得最
小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知⊥，故 BP 的最小值为的长，由勾股定理求解即可．
【解答】如图：
当点 F与点 C重合时，点 P在处，，
3
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