《中考数学特训营》常考压轴01 线段长问题（解析版）

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【十大常考压轴题特训】
特训
0 1 —— 线段长问题
题量﹕10 题；分值﹕每小题 10 分，共计合计 100 分；推荐时间﹕60 分钟
问题 1.（2019 年内蒙古巴彦淖尔中考）
如图，在正方形 中， ，点 ， 分别在边 和 上， ， ，则
的长是 　　
A．B．C．D．
【分析】由正方形的性质得出∠B＝∠D＝∠BAD ＝90°，AB ＝BC ＝CD ＝AD ＝1，证明 Rt△ABE ≌
Rt△ADF 得出∠BAE＝∠DAF，求出∠DAF＝15°，在 AD 上取一点 G，使∠GFA＝∠DAF＝15°，则 AG＝
FG，∠DGF＝30 °，由直角三角形的性质得出 DF＝FG＝AG，DG＝DF，设 DF＝x，则 DG＝x，AG＝FG
＝2x，则 2x＋ x＝1，解得：x＝2 － ，得出 DF＝2 － ，即可得出结果．
【解答】 四边形 ABCD 是正方形，
∠B＝∠D＝∠BAD＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝1，
在Rt△ABE 和Rt△ADF 中，，
∴Rt△ABE ≌ Rt△ADF，
∴∠BAE＝∠DAF，
∵∠EAF＝60 °，
∴∠BAE ＋ ∠DAF＝30 °，
∴∠DAF＝15°，
在AD 上取一点 G，使∠GFA＝∠DAF＝15°，如图所示：
∴AG＝FG，∠DGF＝30 °，
∴DF＝FG＝AG，DG＝DF，
设DF＝x，则 DG＝x，AG＝FG＝2x，
A
BC
D
E
F
1
则2x＋ x＝1，
解得：x＝2－，
得出 DF＝2－
∴CF＝CD－DF＝1－(2－ )＝ － 1；
故选：C．
【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、直角三角形的性质
等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
问题 2. (2019 年内蒙古鄂尔多斯市)
如图，矩形 与菱形 的对角线均交于点 ，且 ，将矩形折叠，使点 与点 重
合，折痕 过点 ．若 ， ， ，则 的长为 　　
A
BC
D
E
F
G
H
M
ND'
O
A．B．C．D．
【分析】延长 EG 交DC 于P点，连接 GC、FH，则△GCP 为直角三角形，证明四边形 OGCM 为菱形，
则可证 CG＝OM＝CM＝OG＝，由勾股定理求得 GP 的值，再由梯形的中位线定理 CM＋DN＝2GP，即可
得出答案．
【解答】
A
BC
D
E
F
2
G
A
BC
D
E
F
G
H
M
ND'
OP
延长 EG 交DC 于P点，连接 GC、FH；如图所示：
则CP＝DP＝CD＝，△GCP 为直角三角形，
四边形 EFGH 是菱形，∠EHG＝120°，
∴GH＝EF＝2，∠OHG＝60°，EG ⊥ FH，
∴OG＝GH · sin60°＝2×＝,
由折叠的性质得：CG＝OG＝，OM＝CM，∠MOG＝∠MCG，
∴PG＝ ＝ ，
∵OG ∥ CM，
∴∠MOG＋∠OMC ＝ 180 °，
∴∠MCG＋∠OMC ＝ 180 °
∴OM ∥ CG，
四边形 OGCM 为平行四边形，
∵OM＝CM，
四边形 OGCM 为菱形，
∴CM＝OG＝，
根据题意得：PG 是梯形 MCDN 的中位线，
∴DN＋CM＝2PG＝，
∴DN＝－；
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的性质、菱形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、梯形中位线定理、三角函
数等知识；熟练掌握菱形和矩形的性质，由梯形中位线定理得出结果是解决问题的关键．
问题 3．（2019 四川乐山市）
如图，在边长为 的菱形 中， ，过点 作 于点 ，现将△
沿直线 翻折至△ 的位置， 与 交于点 .则 等于
3
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