《新九年级数学暑假精品课程（浙教版）》第五讲 二次函数的性质（2）《九年级数学讲义上海专用》（解析版）

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第五讲 二次函数的性质（2）
1.3 二次函数的性质（2）
【学习目标】
1、掌握含参数问题，与一元二次方程结合问题，综合图象信息等问题；
2、通过不同情景下的题型，数学模型，深刻理解并会独立分析二次函数的图象与性质问题；
3、为以后分析二次函数压轴题奠定基础，特别是二次函数与几何图形结合的压轴题。
【过关检测】
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，对于二次函数 y＝（x 2﹣）21﹣，下列说法中错误的是（ ）
A．图形顶点坐标为( 2﹣，﹣1)，对称轴为直线 x＝2
B．当 x＜2时，y的值随 x的增大而减小
C．它的图象可以由 y＝x2的图象向右平移 2个单位长度，再向下平移 1个单位长度得到
D．图象与 x轴的两个交点之间的距离为 2
【答案】A
【解析】
根据抛物线图象的性质和特点即可求解．解：A．图形顶点坐标为(2，﹣1)，对称轴为直线 x＝2，故 A错误，符
合题意；
B．抛物线开口向上，故当 x＜2时，y的值随 x的增大而减小，正确，不符合题意；
C．y＝x2的图象向右平移 2个单位长度，再向下平移 1个单位长度得到 y＝（x 2﹣）21﹣，故 C正确，不符合题
意；
D．令 y＝（x 2﹣）21﹣＝0，解得：x＝1或3，故图象与 x轴的两个交点之间的距离为 2正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】
考核知识点：顶点式二次函数性质.掌握顶点式二次函数性质和图象特点是关键.
2．已知，抛物线 y＝ax2＋2ax 在其对称轴的左侧 y随x的增大而减小，关于 x的方程 ax2＋2ax＝m（m＞0）的一
个根为﹣4，而关于 x的方程 ax2＋2ax＝n（0＜n＜m）有两个整数根，则这两个根的积是（ ）
A．0 B．﹣3 C．﹣6 D．﹣8
【答案】B
【解析】
先利用二次函数的性质得到抛物线 y＝ax2＋2ax 的对称轴为直线 x＝﹣1，抛物线的开口向上，抛物线与 x轴的交
1
点坐标为 ，利用抛物线的对称性得到关于 x的方程 ax2＋2ax＝m（m＞0）的另一个根为 2，求关
于x的方程 ax2＋2ax＝n（0＜n＜m）的两个整数根就是求直线 y＝n与抛物线的交点的横坐标，利用图象法得到
关于 x的方程 ax2＋2ax＝n（0＜n＜m）有两个整数根能为 ．抛物线 y＝ax2＋2ax 的对称轴为直线
x＝﹣ ＝﹣1，
∵抛物线 y＝ax2＋2ax 在其对称轴的左侧 y随x的增大而减小，
∴a＞0，抛物线的开口向上，
当y＝0时，ax2＋2ax＝0，解得 ，
即抛物线 y＝ax2＋2ax 与x轴的交点坐标为 ，如图所示：
∵关于 x的方程 ax2＋2ax＝m（m＞0）的一个根为﹣4，
∴关于 x的方程 ax2＋2ax＝m（m＞0）的另一个根为 2，
∵关于 x的方程 ax2＋2ax＝n（0＜n＜m）有两个整数根，
∴关于 x的方程 ax2＋2ax＝n（0＜n＜m）有两个整数根能为 ，
∴这两个根的积是为﹣3．
故选：B．
【点睛】
本题考查了抛物线与 x轴的交点：把求二次函数 y＝ax2＋2ax（a，b，c常数， ）与 x轴的交点坐标问题转
化为解关于 x的一元二次方程，也考查了二次函数的性质．
2
3．小明在研究抛物线 （ 为常数）时，得到如下结论，其中正确的是（ ）
A．无论 取何实数， 的值都小于 0
B．该抛物线的顶点始终在直线 上
C．当 时， 随 的增大而增大，则
D．该抛物线上有两点 ， ，若 ， ，则
【答案】D
【解析】
根据抛物线的解析式的性质，对每个选项进行分析即可．A、由函数表达式的性质可得，抛物线的顶点坐标为
（h，-h+1），抛物线的最大值为-h+1，若 h<1，则 y>0，故 A项错误；
B、由题可得出抛物线的顶点坐标为（h，-h+1），
当x=h 时，代入 y=x-1 得 ，故 B项错误；
C、由题意得，抛物线在 x=h 左侧时， 随 的增大而增大，
∴ ，故 C项错误；
D、∵x1<x2，x1+x2>2h，
∴x1在x=h 左侧且更靠近 x=h，
∵在 中，x离x=h 越近，y值越大，
∴y1>y2，故 D项正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，掌握知识点，灵活运用是解题关键．
4．在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y＝mx22mx+m 1﹣ ﹣ （m＞0）与 x轴的交点为 A，B．若横、纵坐标都是
整数的点叫做整点，当抛物线在点 A，B之间的部分与线段 AB 所围成的区域内（包括边界）恰有 6个整点，结
合函数的图象，可得 m的取值范围为（ ）
A． ＜m≤ B． ≤m＜C．0＜m＜D．0＜m≤
【答案】A
【解析】
3
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