《鲁教版（五四制）九年级数学专题复习训练》专题9圆—9.1垂径定理

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垂径定理

【知识梳理】

1.圆有关的概念:

（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中，定

点为圆心，定长为半径．

（2）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．

（3）圆周角：顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点的角叫做圆周角．

（4）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，

小于半圆的弧称为劣弧．

（5）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．

2.圆的有关的性质：

（1）圆心角、弦和弧三者之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两

条弧、两条弦或两条弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分

别相等；

（2）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；（基本用

法图）

推论 1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

垂径定理及其推论可概括为：

过圆心

垂直于弦

直径平分弦知二推三

平分弦所对的优弧

平分弦所对的劣弧

（3）圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数；

垂径定理：（三种基本图形）

【经典例题 1】如图，⊙O的半径 OD⊥弦AB 于点 C，连接

AO 并延长交⊙O于点 E，连接 EC．若 AB=8，CD=2，则 EC 的长为( )

A. B.8 C. D.

【解析】∵OD⊥弦AB，AB=8，

∴AC= AB= ×8=4，

设⊙O的半径 OA=r，

∴OC=OD-CD=r-2，

在Rt OAC△中，r2=（r-2）2+42，

解得：r=5，

连结 BE，如图，

∵OD=5，CD=2，∴OC=3，

∵AE 是直径，∴∠ABE=90°，

∵OC 是△ABE 的中位线，

∴BE=2OC=6，

在Rt CBE△中，CE= ．

练习 1-1 如图，AB 是⊙O的弦，直径 CD 交AB 于点 E，若

AE=EB=3，∠C=15°，则 OE 的长为 .

练习 1-2 如图，△ABC 内接于⊙O，∠ACB＝90°，∠ACB 的角平分线交⊙O于

点D.若AC＝6，BD＝5，则 BC 的长为__8__．

练习 1-3 如图所示，在直角坐标系中，四边形 OABC 为正方形，顶点 A、C在

坐标轴上，以边 AB 为弦的⊙M与x轴相切，若点 A的坐标为（0，8），则圆

心M的坐标为（）

A．（4，5）B．（－5，4）C．（－4，6）D．（－4，5）

练习 1-4 如图，⊙C经过原点且与两坐标轴分别交于点 A到点 B，点 A的坐标

为(0，4)，M是圆上一点，∠BMO=120°，求: C⊙的半径和圆心 C的坐标.

练习 1-5 如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是(2，a)(a>2)，半径为 2，函

数y=x的图象被⊙P的弦 AB 的长为 2，则 a的值是______.

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