《八年级数学上册单元复习（青岛版）》第四章 数据分析【知识梳理】

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第一章《基本的几何图形》（知识梳理）
【思维导图】
【知识清单】
知识点一:平均与加权平均数
1.平均数
若一组数据为 ，它们的平均数为 ，则 . 平均数是描述一组数据
的一种常用指标，反映了这组数据中各数据的平均大小或者是集中趋势. 一组数据的平均数只有一个.
2.加权平均数
（1）一般地，若 个数 的权分别是 ，则 叫作这 个数的加
权平均数.
（ 2 ） 在 求 个 数 的 平 均 数 时 ， 如 果 出 现 次 ， 出 现 次 ， … ， 出 现 次 （ 这 里
），那么这 个数的平均数 也叫作 ，这 个数的
加权平均数，其中 分别叫做 的权.
3.平均数的性质
数据 的平均数为 ，则 的平均数为 ； 的平均数为
（ 为常数）.
1
点拨
（1）当所给数据 比较离散时，一般选用公式 计算算术平均数.
（2）当所给数据重复出现时，一般选用加权平均数公式.
（3）当数据较大、较多且在某一个常数 附近摆动时，用公式 计算较容易，其中 是原数据与
的差组成的新数据的平均数.
知识点二:中位数
将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则称处于中间位置的数为
这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则称中间两个数据的平均数为这组数据的中位数.
注意
（1）一组数据的中位数是唯一的.
（2）当数据个数为奇数时，它的中位数一定是这组数据中的某一个；当一组数据的个数为偶数时，它的
中位数不一定是这组数据中的某一个.
知识点三:众数
一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数.一组数据中，众数可能不止一个.
拓展：平均数、中位数、众数的区别与联系
名称 区别 联系
平均数
（1）平均数的大小与一组数据中的每个数据均有关系，任
何一个数据的变动都会引起相应平均数的变动；（2）—组
数据中平均数唯一；（3）平均数不一定是原数据中的数据
（1）平均数、中位
数及众数都是描述
一组数据的集中趋
势的量，其中以平
均数最为重要，其
应 用 最 为 广 泛 ；
（2） 在 实 际 问 题
中 ， 求 得 的 平 均
数、中位数和众数
都有单位，它们的
单位都与原数据的
单位相同
中位数
（1）某些数据的变动对中位数没有影响，当一组数据中存
在个别极端数据时，可用中位数来描述其集中趋势；（ 2）
—组数据中中位教唯一；（3）中位数不一定是原数据中的
数据
众数
（1）众数着眼于对各数据出现频数的考察，其大小只与这
组数据中的部分数据有关，当一组数据中有不少数据多次
重复出现时，其众数往往是我们关心的一种统计量；（ 2）
—组数据中众数不一定唯一；（3）众数一定是原数据中的
数据
知识点四:平均数、中位数和众数的使用
平均数、中位数和众数都可以反映一组数据的集中趋势，它们各有自己的特点，能够从不同的角度提供信
息.在实际应用中，需要分析具体问题的情况，选择适当的量反映数据的集中趋势.
类别 特点
平均数 计算要用到所有数据，能够充分利用数据提供的信息，但受极端值的影
响较大
中位数 一组数据中某些数据多次重复出现时，常使用众数，不易受极端值的影
响
众数 需要很少计算，不易受极端值的影响
知识点五:平均数、众数、中位数帮你做决策
平均数、中位数和众数都是反映一组数据的集中趋势的量，它们刻画了一组数据的“平均水平”，但它们
各有特点：计算平均数时，所有的数据都参加运算，它能充分地利用数据所提供的信息.因此在现实生活
中较为常用，但它容易受极端值的影响；中位数的优点是计算简单，受极端值的影响较小，但不能充分利
用所有的数据提供的信息；当一组数据中某些数据多次重复出现时，众数往往是人们尤为关心的一个量，
但当各个数据的重复次数大致相等时，众数往往没有特别大的意义.
知识点六:方差
1. 概 念 ： 设 有 个 数 据 ， 各 数 据 与 它 们 的 平 均 数 的 差 的 平 方 分 别 是
，我们用这些值的平均数，即用 来
衡量这组数据波动的大小，并把它叫作这组数据的方差，记作.
2.方差越大，数据的波动越大，数据越不稳定；方差越小，数据的波动越小，数据越稳定.
点拨：
数 据 ， 的 方 差 为 ， 则 （ 1） ， 的 方 差 为 （ 为 常 数 ） ； （ 2）
的方差为 （ 为不为零的常数）.
知识点七:用计算器求方差
使用计算器计算方差通常需要先按动有关键，使计算器进入统计状态，然后依次输入数据 ，最
2
后按动求方差的功能键（如 键），便可求出方差.
注意
不同品牌的计算器的操作步骤有所不同，操作时需要参阅计算器的使用说明书.
知识点八:拓展：度量数据波动程度的其他量
1.极差：一组数据中最大值与最小值的差.
2.平均差：一组数据中每个数据与其平均数的差的绝对值的平均数，叫作这组数据的平均差，即为：
.
3.标准差：方差的算术平方根叫作这组数据的标准差，即
点拨
1.极差受极端值的影响较大.
2.标准差的单位与原始数据的单位相同.
知识点九:方差的实际应用
方差刻画的是数据的波动程度：方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小. 利用方差，我
们可以解决实际生活中的“优胜劣汰”问题。
【典例解析】
例1.（2020•怀化）某校招聘教师，其中一名教师的笔试成绩是80 分，面试成绩是60 分，综合成
绩笔试占 60%，面试占 40%，则该教师的综合成绩为　72　分．
【解析】
解：根据题意知，该名老师的综合成绩为80×60%+60×40%＝72（分）
【分析】
【点评】
例2.（2020•四川省南充市）八年级某学生在一次户外活动中进行射击比赛，七次射击成绩依次为
（单位：环）：4，5，6，6，6，7，8．则下列说法错误的是（ ）
A. 该组成绩的众数是 6环B. 该组成绩的中位数数是 6环
C. 该组成绩的平均数是 6环D. 该组成绩数据的方差是 10
【答案】D
【分析】
根据平均数、中位数、众数和方差的意义分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【解析】
解：A. 6∵出现了 3次，出现的次数最多，∴该组成绩的众数是 6环，故本选项正确；
3
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