《2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练（苏科版）》专题3.3 勾股定理逆定理（知识讲解）

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3.3 勾股定理逆定理（知识讲解）
【学习目标】
1. 掌握勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系．
2. 能利用勾股定理的逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形.
3. 能够理解勾股定理及逆定理的区别与联系，掌握它们的应用范围.
【要点梳理】
要点一、勾股定理的逆定理
如果三角形的三条边长
a b c， ，
，满足
2 2 2
a b c 
，那么这个三角形是直角三角形.
要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.
（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角
形.
要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形
（1） 首先确定最大边（如
c
）.
（2） 验证
2
c
与
2 2
a b
是否具有相等关系.若
2 2 2
c a b 
，则△ABC 是∠C＝90°的直角三角形；若
2 2 2
c a b 
，则△ABC 不是直角三角形.
要点诠释：当
2 2 2
a b c 
时，此三角形为钝角三角形；当
2 2 2
a b c 
时，此三角形为锐角三角形，
其中
c
为三角形的最大边.
要点三、互逆命题
如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做
它的逆命题.
要点诠释：原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们
称为真命题，错误的命题我们称它为假命题.
要点四、勾股数
满足不定方程
2 2 2
x y z 
的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以
为三边长的三角形一定是直角三角形.
熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：　
1 3、4、5； ②5、12、13；③ 8、15、17；④ 7、24、25；⑤ 9、40、41……
如果
a b c、 、
是勾股数，当
t
为正整数时，以
at bt ct、 、
为三角形的三边长，此三角形必为直角三角
1
形.
要点诠释：（1）
2 2
1 2 1n n n ， ，
（
1,n n
是自然数）是直角三角形的三条边长；
（2）
2 2
2 2 , 2 1, 2 2 1n n n n n  
（
n
是自然数）是直角三角形的三条边长；
（3）
2 2 2 2
, , 2m n m n mn 
（
,m n m n、
是自然数）是直角三角形的三条边长；
【典型例题】
类型一、原命题与逆命题
1、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确
　　1．原命题：猫有四只脚．
2．原命题：对顶角相等.
3．原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端点的距离相等．
4．原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等．
【答案与解析】
1. 逆命题：有四只脚的是猫（不正确）
2. 逆命题：相等的角是对顶角（不正确）
3. 逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．¾（正确）
4. 逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的角平分线上．（正确）
【总结升华】掌握原命题与逆命题的关系. 原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不
一定错误.
举一反三：
【变式】下列命题中，其逆命题成立的是______________．（只填写序号）
①同旁内角互补，两直线平行；
②如果两个角是直角，那么它们相等；
③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；
④如果三角形的三边长
a b c， ，
满足
2 2 2
a b c 
，那么这个三角形是直角三角形．
【答案】①④
提示：①的逆命题“两直线平行，同旁内角互补”显然正确；②的逆命题“如果两个角相等，那么它们是
直角”很明显是错误的；③的逆命题“如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等”，两个实数可以
互为相反数，所以该命题不正确；④的逆命题“如果三角形是直角三角形，那么三角形的三边长
a b c， ，
2
满足
2 2 2
a b c 
”也是正确的.
类型二、勾股定理的逆定理
2、判断由线段
a b c， ，
组成的三角形是不是直角三角形．
（1）
a
＝7，
b
＝24，
c
＝25；
（2）
a
＝
4
3
，
b
＝1，
c
＝
3
4
；
（3）
2 2
a m n 
，
2 2
b m n 
，
2c mn
(
0m n 
)；
【思路点拨】判断三条线段能否组成直角三角形，关键是运用勾股定理的逆定理：看较短的两条线段的平
方和是否等于最长线段的平方．若是，则为直角三角形，反之，则不是直角三角形．
【答案与解析】
解：（1）∵
2 2 2 2
7 24 625a b  
，
2 2
25 625c 
，
∴
2 2 2
a b c 
．
∴ 由线段
a b c， ，
组成的三角形是直角三角形．
（2）∵
abc 
，
2
2 2 2
3 9 25
1 1
4 16 16
b c  
 
 
 
，
2
2
4 16
3 9
a 
 
 
 
，
∴
2 2 2
b c a 
．
∴ 由线段
abc， ，
组成的三角形不是直角三角形．
（3）∵
0m n 
，
∴
2 2
2m n mn 
，
2 2 2 2
m n m n 
．
∵
2 2 2 2 2 2 4 2 2 4 2 2 4 2 2 4
( ) (2 ) 2 4 2a c m n mn m m n n m n m m n n   
，
2 2 2 2 4 2 2 4
( ) 2b m n m m n n  
，
∴
2 2 2
a c b 
．
3
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