《2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练（苏科版）》专题3.1 勾股定理（知识讲解）

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3.1 勾股定理（知识讲解）
【学习目标】
能够根据三角形三边长或某些线段之间的关系判定一个三角形是否为直角三角形.
【知识点与方法技巧梳理】
要点一、直角三角形的判定
如果三角形的三条边长
a b c， ，
，满足
2 2 2
a b c 
，那么这个三角形是直角三角形.
知识点提示：
（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.
（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三
角形.
要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形
（1） 首先确定最大边（如
c
）.
（2） 验证
2
c
与
2 2
a b
是否具有相等关系.若
2 2 2
c a b 
，则△ABC 是∠C＝90°的直角三角
形；若
2 2 2
c a b 
，则△ABC 不是直角三角形.
知识点提示：当
2 2 2
a b c 
时，此三角形为钝角三角形；当
2 2 2
a b c 
时，此三角形为锐角
三角形，其中
c
为三角形的最大边.
要点三、互逆命题
如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另
一个叫做它的逆命题.
知识点提示：原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的
命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题.
要点四、勾股数
满足不定方程
2 2 2
x y z 
的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，
以
为三边长的三角形一定是直角三角形.
熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：　
1 3、4、5； ②5、12、13；③ 8、15、17；④ 7、24、25；⑤ 9、40、41……
如果
a b c、 、
是勾股数，当
t
为正整数时，以
at bt ct、 、
为三角形的三边长，此三角形必为直
1
角三角形.
知识点提示：（1）
2 2
1 2 1n n n ， ，
（
1,n n
是自然数）是直角三角形的三条边长；
（2）
2 2
2 2 , 2 1, 2 2 1n n n n n  
（
n
是自然数）是直角三角形的三条边长；
（3）
2 2 2 2
, , 2m n m n mn 
（
,m n m n、
是自然数）是直角三角形的三条边长；
【典型例题】
类型一、原命题与逆命题
例题 1、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确
　　1．原命题：猫有四只脚．
2．原命题：对顶角相等.
3．原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端点的距离相等．
4．原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等．
【答案与解析】
1. 逆命题：有四只脚的是猫（不正确）
2. 逆命题：相等的角是对顶角（不正确）
3. 逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．·（正确）
4. 逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的角平分线上．（正确）
【总结】掌握原命题与逆命题的关系. 原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也
不一定错误.
举一反三：
【变式】下列命题中，其逆命题成立的是______________．（只填写序号）
①同旁内角互补，两直线平行；
②如果两个角是直角，那么它们相等；
③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；
④如果三角形的三边长
a b c， ，
满足
2 2 2
a b c 
，那么这个三角形是直角三角形．
【答案】①④
提示：①的逆命题“两直线平行，同旁内角互补”显然正确；②的逆命题“如果两个角相等，那么
它们是直角”很明显是错误的；③的逆命题“如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等”，
两个实数可以互为相反数，所以该命题不正确；④的逆命题“如果三角形是直角三角形，那么三角
2
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