《2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练（苏科版）》专题2.5 线段的垂直平分线（知识讲解）

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专题 2.5 线段的垂直平分线（知识讲解）
【学习目标】
1.掌握线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理，能够利用尺规作已知线段的垂直平分线．
2.会证明三角形的三条中垂线必交于一点.掌握三角形的外心性质定理.
3.已知底边和底边上的高，求作等腰三角形.
4.能运用线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理解决简单的几何问题及实际问题．
【要点梳理】
要点一、线段的垂直平分线
1.定义
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中
垂线．
2.线段垂直平分线的做法
求作线段 AB 的垂直平分线.
作法：
（1）分别以点 A，B为圆心，以大于
2
1
AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C，D两点；
（2）作直线 CD，CD 即为所求直线．
要点诠释：
(1)作弧时的半径必须大于
2
1
AB 的长，否则就不能得到两弧的交点了．
(2)线段的垂直平分线的实质是一条直线.
要点二、线段的垂直平分线定理
线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
要点诠释：
线段的垂直平分线定理也就是线段垂直平分线的性质，是证明两 条线段相等的常用方法
之一．同时也给出了引辅助线的方法，“线段垂直平分线，常向两端把线连”.就是遇见线段
1
的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全
等三角形创造条件．
要点三、线段的垂直平分线逆定理
线段的垂直平分线逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
要点诠释：
到线段两个端点距离相等的所有点组成了线段的垂直平分线.线段的垂直平分线可以看作
是与这条线段两个端点的距离相等的所有点的集合．
要点四、三角形的外心
三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接
圆的圆心——外心.
要点诠释:
1.三角形三条边的垂直平分线必交于一点（三线共点），该点即为三角形外接圆的圆心.
2.锐角三角形的外心在三角形内部；钝角三角形的外心在三角形外部；直角三角形的外心在
斜边上，与斜边中点重合.
3.外心到三顶点的距离相等.
要点五、尺规作图
作图题是初中数学中不可缺少的一类试题，它要求写出“已知，求作，作法和画图”，
画图必须保留痕迹，在现行的教材里，一般不要求写出作法，但是必须保留痕迹.证明过程一
般不用写出来.最后要点题即“xxx 即为所求”.
【典型例题】
类型一、线段的垂直平分线定理
1、如图，△ABC 中AC ＞BC ， 边 AB 的垂直平分线与 AC 交于点 D，已知
AC=5，BC=4，则△BCD 的周长是（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【思路点拨】先根据线段垂直平分线的性质得到 AD=BD，即 AD+CD=BD+CD=AC，再根据
△BCD 的周长=BC+BD+CD 即可进行解答．
【答案】A；
2
【解析】因为 BD=AD,所以△BCD 的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=5+4=9.
【总结升华】此题正是应用了线段垂直平分线的性质定理，也就是已知直线是线段垂直平分
线，那么垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等，从而把三角形的边进行转移，进而
求得三角形的周长．
举一反三：
【变式 1】如图，在△ABC 中，AB=AC，∠A=36°，AB 的垂直平分线 DE 交AC 于D，交
AB 于E，下述结论错误的是（　　）
A．BD 平分∠ABC B．△BCD 的周长等于 AB+BC
C．AD=BD=BC D．点 D是线段 AC 的中点
【答案】D；
提示:根据等边对等角、三角形内角和定理及线段垂直平分线的性质定理即可推得选项
A、B、C正确；所以选 D,另外，注意排除法在解选择题中的应用．
【变式 2】（2015 秋•江阴市校级月考）如图，△ABC 中，BC=7，AB 的垂直平分线分别交
AB、BC 于点 D、E，AC 的垂直平分线分别交 AC、BC 于点 F、G．求△AEG 的周长．
【答案】
解：∵DE 为AB 的中垂线，
∴AE=BE，
∵FG 是AC 的中垂线，
∴AG=GC，
△AEG 的周长等于 AE+EG+GA，分别将AE 和AG 用BE 和GC 代替得：△AEG 的周长
等于 BE+EG+GC=BC，
所以△AEG 的周长为 BC 的长度即7．
类型二、线段的垂直平分线的逆定理
3
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