《【临门一脚】中考数学三轮冲刺过关（全国通用) 》预测12 二次函数与线段、面积和角度的综合(解析版）

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预测 12 二次函数与线段、面积和角度的综合

概率预测 ☆ ☆ ☆ ☆ ☆

题型预测解答题☆ ☆ ☆ ☆ ☆

考向预测

①有关线段长度的二次函数。

②有关几何图形面积的二次函数。

③有关角度的计算的二次函数。

二次函数是全国中考的热点，也是每年必考的！全国各地的中考数学试题都把二次函数作为压

轴题。

1．从考点频率看，周长、角度与二次函数的综合是高频考点。

2．从题型角度看，以解答题形式考查，分值约 11 分。

常考知识点总结

1. 两点之间距离公式：

2.中点坐标：线段 AB 的中点 C 的坐标为:

3.直线的位置关系

（1）两直线平行（2）两直线相交

（3）两直线重合（4）两直线垂直

4.三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半

5.点到直线的距离公式

①线段问题：求线段长度时，要将线段问题转化为点的坐标问题，根据坐标的特点，求出线

段长，或根据题中线段之间的数量关系，列出满足条件的方程求解。②面积问题：若图形是规则图

形，直接求即可，若是不规则图形，则可以通过割补法求面积，或过特殊点作 x 轴的垂线，将所求

面积进行分割，再将面积问题转化为线段问题，构建函数模型求面积。

1．（内蒙古鄂尔多斯市 2020 年中考数学试题）如图 1，抛物线 y＝x2+bx+c 交 x 轴于 A，B 两点，其

中点 A 的坐标为(1，0)，与 y 轴交于点 C（(0，﹣3)．

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）点 D 为 y 轴上一点，如果直线 BD 与直线 BC 的夹角为 15°，求线段 CD 的长度；

（3）如图 2，连接 AC，点 P 在抛物线上，且满足∠PAB＝2∠ACO，求点 P 的坐标．

【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；（2）CD 的长度为 3﹣ 或 3 ﹣3；（3）(﹣ ， )，(﹣ ，

﹣ )

【解析】

【分析】

（1）将点 A，点 C 坐标代入解析式可求解；

（2）先求出点 B 坐标，可得 OB＝OC，可得∠OBC＝∠OCB＝45°，再分点 D 在点 C 上方或下方两种

情况讨论，由锐角三角函数可求解；

（3）在 BO 上截取 OE＝OA，连接 CE，过点 E 作 EF⊥AC，由“SAS”可证△OCE≌△OCA，可得∠ACO

＝∠ECO，CE＝AC＝，由面积法可求 EF 的长，由勾股定理可求 CF 的长，可求 tan∠ECA＝

tan∠PAB＝，分点 P 在 AB 上方和下方两种情况讨论，求出 AP 解析式，联立方程组可求点 P 坐标．

【详解】解：（1）∵抛物线 y＝x2+bx+c 交 x 轴于点 A（1，0），与 y 轴交于点 C（0，﹣3），

∴ ，

解得：，

∴抛物线解析式为：y＝x2+2x﹣3；

（2）∵抛物线 y＝x2+2x﹣3 与 x 轴于 A，B 两点，

∴点 B（﹣3，0），

∵点 B（﹣3，0），点 C（0，﹣3），

∴OB＝OC＝3，

∴∠OBC＝∠OCB＝45°，

如图 1，当点 D 在点 C 上方时，

∵∠DBC＝15°，

∴∠OBD＝30°，

∴tan∠DBO＝＝，

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