《【临门一脚】中考数学三轮冲刺过关（全国通用) 》预测11 动点变化引起的探究(解析版）

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预测 11 动点变化引起的探究
概率预测 ☆ ☆ ☆ ☆
题型预测 解答题☆ ☆ ☆ ☆
考向预测
①手拉手模型。
②半角模型。
③对角互补模型
类比探究性问题的特点是“图形变化但结构不变”，初中数学常见的结构有平行结构、直角结
构、旋转结构、中点结构。经常以几何三大变换、相似、直角、中点、面积、特殊三角形为载体呈
现。通过类比字母、类比辅助线、类比结构、类比思路来解决类比探究问题。
相似三角形模型
8 字形模型
8 字形 反 8 字形
A 字形模型
A 字形 反 A 字形 共边反 A 字形
一线三等角模型
一线三等角 一线三直角
1
在探究过程中，一般按照：①对比连续两问的特征，考虑类比的前提条件是否存在；②对比
特征应用方式，考虑在“相同”的条件下，能否进行“相同”的组合。③对比结论，先从图上验证
上一问的结论或者结合图形以及上一问的结论的组合方式尝试、猜测、验证新结论。
1．（2020 年河北中考）如图 1 和图 2，在△
ABC
中，
AB
＝
AC
，
BC
＝8，tan
C
．点
K
在
AC
边上，
点
M
，
N
分别在
AB
，
BC
上，且
AM
＝
CN
＝2．点
P
从点
M
出发沿折线
MB
﹣
BN
匀速移动，到达点
N
时
停止；而点
Q
在
AC
边上随
P
移动，且始终保持∠
APQ
＝∠
B
．
（1）当点
P
在
BC
上时，求点
P
与点
A
的最短距离；
（2）若点
P
在
MB
上，且
PQ
将△
ABC
的面积分成上下 4：5 两部分时，求
MP
的长；
（3）设点
P
移动的路程为
x
，当 0≤
x
≤3 及 3≤
x
≤9 时，分别求点
P
到直线
AC
的距离（用含
x
的式子表示）；
（4）在点
P
处设计并安装一扫描器，按定角∠
APQ
扫描△
APQ
区域（含边界），扫描器随点
P
从
M
到
B
再到
N
共用时 36 秒．若
AK
，请直接写出点
K
被扫描到的总时长．
【分析】（1）如图 1 中，过点
A
作
AH
⊥
BC
于
H
．解直角三角形求出
AH
即可．
（2）利用相似三角形的性质求解即可．
（3）分两种情形：当 0≤
x
≤3 时，当 3＜
x
≤9 时，分别画出图形求解即可．
（4）求出
CK
的长度，以及
CQ
的最大值，利用路程与速度的关系求解即可．
【解析】（1）如图 1 中，过点
A
作
AH
⊥
BC
于
H
．
2
∵
AB
＝
AC
，
AH
⊥
BC
，
∴
BH
＝
CH
＝4，∠
B
＝∠
C
，
∴tan∠
B
＝tan∠
C
，
∴
AH
＝3，
AB
＝
AC
5．
∴当点
P
在
BC
上时，点
P
到
A
的最短距离为 3．
（2）如图 1 中，∵∠
APQ
＝∠
B
，
∴
PQ
∥
BC
，
∴△
APQ
∽△
ABC
，
∵
PQ
将△
ABC
的面积分成上下 4：5，
∴ （ ）2，
∴ ，
∴
AP
，
∴
PM
＝
AP
＝
AM
2 ．
（3）当 0≤
x
≤3 时，如图 1﹣1 中，过点
P
作
PJ
⊥
CA
交
CA
的延长线于
J
．
3
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