《【临门一脚】中考数学三轮冲刺过关（全国通用) 》预测07 锐角三角函数实际应用(解析版）

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预测 07 锐角三角函数实际应用
概率预测 ☆ ☆ ☆ ☆ ☆
题型预测 解答题☆ ☆ ☆ ☆ ☆
考向预测
①根据已知条件直接求出所需要边的长度。
②需要用方程思想，才能求出边的长度。
锐角三角函数实际应用是全国中考的热点内容！锐角三角函数实际应用就是把实际问题转化为
解直角三角形问题。
1．从考点频率看，锐角三角函数实际应用是高频考点，通常利用正弦、余弦、正切的定义和
特殊角的三角函数值来解决问题。
2．从题型角度看，以解答题为主，分值 9 分左右！
特殊角的三角函数值
三角函数 定义 30° 45° 60°
sin
cos
tan
仰角和俯角的定义
坡比的定义
1
坡比= =tanα
锐角三角函数实际应用常用的辅助线：做垂线，构造直角三角形。在直角三角形，已知一条
边和一个角的三角函数值即可求出其它边。当在一个直角三角形中，一条边长度都不知道时，一定
要记得设未知数，利用方程思想。
1．（2020 年辽阳中考）如图，我国某海域有
A
，
B
两个港口，相距 80 海里，港口
B
在港口
A
的东
北方向，点
C
处有一艘货船，该货船在港口
A
的北偏西 30°方向，在港口
B
的北偏西 75°方向，
求货船与港口
A
之间的距离．（结果保留根号）
【分析】过点
A
作
AD
⊥
BC
于
D
，求出∠
ABC
＝60°，在 Rt△
ABD
中，∠
DAB
＝30°，由三角函数定
义求出
AD
＝
AB
•sin∠
ABD
＝40 ，求出∠
DAC
＝∠
CAB
﹣∠
DAB
＝45°，则△
ADC
是等腰直角三
角形，得出
AC AD
＝40 海里即可．
【解析】过点
A
作
AD
⊥
BC
于
D
，如图所示：
2
由题意得：∠
ABC
＝180°﹣75°﹣45°＝60°，
∵
AD
⊥
BC
，
∴∠
ADB
＝∠
ADC
＝90°，
在 Rt△
ABD
中，∠
DAB
＝90°﹣60°＝30°，
AD
＝
AB
•sin∠
ABD
＝80×sin60°＝80 40
，
∵∠
CAB
＝30°+45°＝75°，
∴∠
DAC
＝∠
CAB
﹣∠
DAB
＝75°﹣30°＝45°，
∴△
ADC
是等腰直角三角形，
∴
AC AD
40 40 （海里）．
答：货船与港口
A
之间的距离是 40 海里．
2．（2020 年江西中考）如图 1 是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托
板上，图 2 是其侧面结构示意图．量得托板长
AB
＝120
mm
，支撑板长
CD
＝80
mm
，底座长
DE
＝
90
mm
．托板
AB
固定在支撑板顶端点
C
处，且
CB
＝40
mm
，托板
AB
可绕点
C
转动，支撑板
CD
可绕
点
D
转动．（结果保留小数点后一位）
（1）若∠
DCB
＝80°，∠
CDE
＝60°，求点
A
到直线
DE
的距离；
（2）为了观看舒适，在（1）的情况下，把
AB
绕点
C
逆时针旋转 10°后，再将
CD
绕点
D
顺时针
旋 转 ， 使 点
B
落 在 直 线
DE
上 即 可 ， 求
CD
旋 转 的 角 度 ． （ 参 考 数 据 ：
sin40°≈0.643 ，cos40°≈0.766 ，tan40°≈0.839 ，sin26.6°≈0.448 ，cos26.6°≈0.894
3
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