2021届高考数学三轮复习专题：几何体中的截面问题

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立体几何体中所有的截面问题
截面问题，是高考的一个考点，不过也是限考内容,只考查知道截面的截面问题.
一、截面的定义及作法
用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体(包括圆柱，圆锥，
球，棱柱，棱锥、长方体，正方体等等)的截面.此平面与几何体表面的交集(交线)叫做
截线此平面与几何体的棱的交集(交点)叫做截点.
我们要清楚立体图形的截面方式，总共有三种，分别为横截、竖截、斜截.最后，我们
了解每一种立体图形通过上述三种截面方式所得到的截面图有哪些
1，方法(交线法).该作图关键在于确定截点，有了位于多面体同一表面上的两个截点即
可连结成截线，从而求得截面.
2.作截面与截点的主要依据有:(1)确定平面的条件
(2)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们相交于过此点的一条直线
(3)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么这条直线上所有的点都在这个平面上
(4)如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直
线就和交线平行.
(5)如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么这两条交线互相平行
(6)三个平面两两相交有三条交线，如果有两条交线交于一点，那么这三条交线交于一
点.
三个平面两两相交有三条交线，如果有两条交线互相平行，那么这三条交线互相平行.
题型一、截面的形状
1．P、Q、R三点分别在直四棱柱 AC1的棱 BB1、CC1和DD1上，试画出过 P、Q、R三
点的截面．
1解答：(1)连接 QP、QR 并延长，分别交 CB、CD 的延长线于 E、F.
(2)连接 EF 交AB 于
Ｔ
，交 AD 于S．
(3)连接 RS、TP。则多边形 PQRST 即为所求截面。
2．已知 P、Q、R分别是四棱柱 ABCD―A1B1C1D1的棱 CD、DD1和AA1上的点，且 QR
与AD 不平行，求作过这三点的截面．
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2解答： (1)连接 QP 并延长交 DA 延长线于点 I。
(2)在平面 ABCD 内连接 PI 交AB 于点 M。
(3)连接 QP、RM。则四边形 PQRM 即为所求。
注：①若已知两点在同一平面内，只要连接这两点，就可以得到截面与多面体的一个
面的截线。
②若面上只有一个已知点，应设法在同一平面上再找出第二确定的点。
③若两个已知点分别在相邻的面上，应找出这两个平面的交线与截面的交点。
3．一个正方体内接于一个球，过这个球的球心作一平面，则截面图形不可能是
3答案：D
解析：考虑过球心的平面在转动过中，平面在球的内接正方体上截得的截面不可能是大圆
的内接正方形，故选 D。
题型二、截面面积、长度等计算
4．过正方体 的对角线 的截面面积为 S，Smax 和Smin 分别为 S 的
最大值和最小值，则 的值为 ( )
A． B． C． D．
4答案：C
解析：设 M、N分别为 AA1、CC1的中点.易证截面 BMD1N是边长为 的菱形(正方体棱长
设为 1),其面积 S(min)= . 而截面 BB1D1D是矩形,其面积 S(max)= ．
5. 如图，已知球 O是棱长为 1 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1的内切
球，则平面 ACD1截球 O 的截面面积为 ．
5答案：
解析：平面 ACD1是边长为 的正三角形，且球与以点 D为公共
点的三个面的切点恰为三角形 ACD1三边的中点，故所求截面的
2
A C
BD
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