第39练 三角函数的周期性与奇偶性 核心考点练-2021-2022学年人教A版（2019）必修第一册

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第 39 练 三角函数的周期性与奇偶性
一、单选题
1．在下列函数中，图像关于坐标原点对称的是( )
A．
y=lg x
B．
y=sin x
C．
y=cos x
D．
y=¿x∨¿
【答案】B
【解析】根据函数的性质可得奇函数关于原点对称，偶函数的图象关于 y轴对称，对于
A，y＝lgx 是非奇非偶函数，错误；
对于
B，y＝sinx为奇函数，图象关于原点对称，正确；
对于 C，y＝cosx为偶函数，图象关于 y轴对称， 错误；
对于
D，y＝|x|为偶函数，图象关
于y轴对称，错误；故选 B．
2．设函数 f(x)(x∈R)满足 f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，则函数 y＝f(x)的图象是(　　)
【答案】B　
【解析】由f(－x)＝f(x)，则f(x)是偶函数，图象关于 y轴对称．
由f(x＋2)＝f(x)，则f(x)的周期为 2.故选 B.
3．已知函数
f(x)=1
2
sin2 x
，则
f(x+3π
4)
是（ ）
A．最小正周期为
π
的奇函数 B．最小正周期为
的偶函数
C．最小正周期为
π
2
的奇函数 D．最小正周期为
π
2
的偶函数
【答案】B
【解析】∵
f(x)=1
2
sin2 x
，∴
f
(
x+3π
4
)
=1
2
sin 2
(
x+3π
4
)
=1
2
sin ⁡(2x+3π
2)
=
−1
2
cos 2 x
，
∵
cos
(
−2x
)
=cos 2 x
,且 T=
2π
2=π
，∴
f
(
x+3π
4
)
是最小正周期为
π
的偶函数，故选 B.
4．设φ∈R,则“φ=0”是“f(x)=cos(x+φ)(x∈R)为偶函数”的(　 　 )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由“φ＝0”可以推出“f(x)＝cos(x＋φ)＝cosx (x∈R)为偶函数”,所以是充分的，再
由“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”可以推出 ，并不一定有 φ＝0，所以不
必要；因此“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的充分而不必要条件；故选 A．
5.函数 y＝|cos x|－1的最小正周期为(　　)
A. B．π
C．2π D．4π
【答案】B　
【解析】因为函数 y＝|cos x|－1的周期同函数 y＝|cos x|的周期一致，由函数 y＝|cos
x|的图象(略)知其最小正周期为 π，所以 y＝|cos x|－1的最小正周期也为 π.
6．定义在 R上的函数 f(x)周期为 π，且是奇函数，f＝1，则 f的值为(　　)
A．1　　　　B．－1 C．0　　　　D．2
【答案】B
【解析】由已知得 f(x＋π)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)，所以 f＝f＝f＝－f＝－1.
二、多选题
7.关于 x的函数 f(x)＝sin (x＋φ)有以下四个选项，错误的有（ ）：
A.对任意的 φ，f(x)都是非奇非偶函数；
B.存在 φ，使 f(x)是偶函数；
C.存在 φ，使 f(x)是奇函数；
D.对任意的 φ，f(x)都不是偶函数.
【答案】AD
【解析】φ＝0时，f(x)＝sin x，是奇函数，A错误，φ＝时，f(x)＝cos x是偶函数，显然 D
错误，故选 AD.
8.下列直线中是正弦函数 y＝sinx图像的对称轴的有(　　)
A．x＝0 B．x＝－π
C．x＝ D．x＝π
答案：BC
解析：已知正弦函数 y＝sinx的图像的对称轴方程为 x＝kπ＋，k∈Z，令 k＝0，得 x
＝，令 k＝－2，得 x＝－π，故选 BC.
三、填空题
9.设定义在 R上的函数
f(x)
的满足
f
(
x+3π
4
)
=− f
(
x
)
，当
0≤ x ≤ π
时，
f(x)=cosx
，则函
数
f
(
x
)
的最小正周期为¿，f(−5π
6)=¿
______．
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