第31 练 函数模型的应用 核心考点练-2021-2022学年人教A版（2019）必修第一册

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第 31 练 函数模型的应用
一、单选题
1．若镭经过 100 年后剩留原来质量的 95.76%，设质量为 1的镭经过 x年后剩留量为
y，则 x，y的函数关系是(　　)
A．y＝0.957 6 B．y＝(0.957 6)100x
C．y＝
x
D．y＝1－0.042 4
【答案】A　
【解析】由题意可知 y＝(95.76%)，即y＝0.957 6.
2．有一组实验数据如下表所示：
t1.99 3.0 4.0 5.1 6.12
u1.5 4.04 7.5 12 18.01
则能体现这些数据关系的函数模型是(　　)
A．u＝log2t B．u＝2t－2
C．u＝ D．u＝2t－2
【答案】C　
【解析】可以先画出散点图，并利用散点图直观地认识变量间的关系，选择合适的函
数模型来刻画它，散点图如图所示．
由散点图可知，图象不是直线，排除选项 D；图象不符合对数函数的图象特征，排除
选项 A；当 t＝3时，2t－2＝23－2＝6，排除 B，故选 C.
3. 某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长 10.4%，要增长到原来的 x倍，需经过 y年，
则函数 y＝f(x)的图像大致为(　　)
A　　　　B　　　　C　　　　D
【答案】D
【解析】设该林区的森林原有蓄积量为 a，由题意可得 ax ＝a(1 ＋0.104)y， 故 y＝
log1.104x(x≥1)，函数为对数函数，所以函数 y＝f(x)的图像大致为 D中图像，故选 D.
4．根据统计，一名工人组装第 x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝(A，c为常
数)．已知工人组装第 4件产品用时 30 min，组装第 A件产品用时 15 min，那么 c和A的值
分别是(　　)
A．75,25 B．75,16
C．60,25 D．60,16
【答案】D　
【解析】由题意知，组装第 A件产品所需时间为＝15，故组装第 4件产品所需时间为
＝30，解得 c＝60.将c＝60 代入＝15，得A＝16.]
5．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知
该动物的繁殖数量 y(只)与引入时间 x(年)的关系为 y＝alog2(x＋1)，若该动物在引入一年后
的数量为 100 只，则第 7年它们发展到(　　)
A．300 只　　　　 B．400 只
C．600 只 D．700 只
【答案】A　
【解析】将x＝1，y＝100 代入 y＝alog2(x＋1)得，100＝alog2(1＋1)，解得 a＝100.所
以x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝300.]
6.衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进去的新丸体积为 a，经过 t天后
体积 V与天数 t的关系式为：V＝a·e－kt.已知新丸经过 50 天后，体积变为 a.若一个新丸体积
变为 a，则需经过的天数为(　　)
A．125 B．100
C．75 D．50
【答案】C　
【解析】由已知，得a＝a·e－50k，∴e－k＝.设经过 t1天后，一个新丸体积变为 a，则a＝
a·e－kt1，∴＝(e－k)t1＝，∴＝，t1＝75.
二、多选题
7.某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过 0.1％，而这种溶液最初的杂质含
量为 2％，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少 ，则使产品达到市场要求的过滤
次数可以为（参考数据： ， ）（ ）
A．6 B．9 C．8 D．7
【答案】BC
【解析】设经过 次过滤，产品达到市场要求，则 ，即 ，
由 ，即 ，得 ，故选 BC．
8.（2021·江苏省泰州中学高三月考）如图，某池塘里的浮萍面积 （单位：
m2)
与时间
（单位：月）的关系式为 ，且 ； ，且 ．则下列说法正确
的是（ ）
A．浮萍每月增加的面积都相等
B．第 6个月时，浮萍的面积会超过
C．浮萍面积从 蔓延到 只需经过 5个月
D．若浮萍面积蔓延到 ， ， 所经过的时间分别为 ， ， ，则
【答案】BC
【解析】由题意可知，函数过点 和点 ，代入函数关系式： ，且
； ，且 ，得： ，解得： ， 函数关系式：
，
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