第18练 幂函数 核心考点练-2021-2022学年人教A版（2019）必修第一册

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第 18 练 幂函数
一、单选题
1．下列函数中不是幂函数的是(　　)
A．y＝　　　　　　B．y＝x3
C．y＝2x D．y＝x－1
【答案】C
【解析】形如 y＝xα的函数为幂函数，只有 C不是．
2.如图表示的是四个幂函数在同一坐标系中第一象限内的图象，则幂函数
y=x
1
2
的图象可
能是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】D
【解析】幂函数 y
¿x
1
2
为增函数，且增加的速度比价缓慢，只有④符合．故选 D．
3．已知点
)3,
3
3
(
在幂函数 f(x)的图像上，则 f(x)是(　　)
A．奇函数　　　　B．偶函数
C．定义域内的减函数 D．定义域内的增函数
【答案】A
【解析】设幂函数为 f(x)＝xα，又因为图像过点
)3,
3
3
(
，所以
)
3
3
(
＝，解得 α＝－1，
故f(x)＝x－1，又 f(－x)＝(－x)－1＝－f(x)且f(x)在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上也为减
函数 ，因此 A正确，B、C、D错误．
4．若幂函数
f(x)
的图像过点( ,3),则
的解集为( )
A．（-
∞
,0）
∪
（1,
+∞
） B．(0,1) C．(-
∞
,0) D．（1,
+∞
）
【答案】D
【解析】设幂函数的解析式为
f
(
x
)
=xα
，由题意可得
¿3
，即
3−4α=31
，则
α=−1
4,
，据此可得函数
f
(
x
)
的定义域为 ，且函数在定义域内单调递减，故
f
(
x
)
>f(x2)
等价于
x2>x
，解得 （1,
+∞
）,故选 D.
5.已知幂函数
 
f x
的图象过点
2
2, 2
 
 
 
，则此幂函数
 
f x
（ ）
A．过点
 
0,0
B．是奇函数
C．过点
1
4, 2
 
 
 
D．在
 
0,
上单调递增
【答案】C
【解析】设
 
a
f x x
，由题意可得
 
1
2
2
2 2 2
2
a
f
 
，
1
2
a  
，
 
1
2
f x x
 
，
所以，函数
 
y f x
的图象不过点
 
0, 0
.
 
1
2
1
f x x x
 
，该函数的定义域为
 
0,
，不关于原点对称，不是奇函数.
 
1
2
1
4 4 2
f
 
，该函数的图象过点
1
4, 2
 
 
 
，
且在
 
0,
上单调递减.因此，C选项正确.故选 C.
6.对于幂函数给出下列命题：
① 若
x>1
， 则
f(x)>1
； ② 若
0<x1<x2
， 则
f(x2)− f (x1)>x2− x1
； ③ 若
0<x1<x2
， 则
x2f(x1)<x1f(x2)
；④若
0<x1<x2
，则
f
(
x1
)
+f(x2)
2<f(x1+x2
2)
.
以上命题符合“图象过点 的幂函数”特征的结论有（ ）．
A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ③④
【答案】C
【解析】依题意有 ,
f
(
x
)
=x
1
2,
①.函数
f
(
x
)
=x
1
2
单调递增，且
f
(
1
)
=1
，据此可知：若
x>1
，则
f(x)>1
，题中是说法正确；
②.令
x1=1, x2=4
，满足
0<x1<x2
，则
f
(
x2
)
− f
(
x1
)
=4
1
2−1
1
2=1
，而
x2− x1=4−1=3
，
不满足
f(x2)− f (x1)>x2− x1
，题中说法错误；
③.令
x1=1, x2=4
，满足
0<x1<x2
，而
x2f
(
x1
)
=4×1
1
2=4
，
x1f
(
x2
)
=1×4
1
2=2
，不满足
x2f(x1)<x1f(x2)
，题中的说法错误；
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