专项12 相似三角形-手拉手旋转型综合应用（2大类型）（解析版）-2022-2023学年九年级数学上册高分突破必练专题
专项 12 相似三角形-手拉手旋转型综合应用（2大类型）
模型一：有公共顶点的直角三角形
模型二：有公共顶点的任意三角形
【类型 1：有公共顶点的直角三角形】
【典例 1】如图 1，已知 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，D、E分别是 AC、BC 的中点，连接
DE，tan∠BAC＝ ．
【问题背 景 】 如图 2，将△ CDE 绕C点 旋转 一 定 的 角 度， 连 接 BE 、AD ，求证 ：
△ADC∽△BEC；
【尝试运用】如图 3，当△CDE 绕C点旋转过程中，AD、BE 交于点 H，连接 CH，CH
＝5，求 AH﹣BH 的值；
【拓展延伸】如图 3，若 CD＝1，当△CDE 绕C点旋转过程中，直接写出△ABH 面积的
最大值是 ．
【解答】解：（1）∵D、E分别是 AC、BC 的中点，
∴DE 是△ABC 的中位线，
∴DE∥AB，
∴ ，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△ADC∽△BEC；
（2）过点 C作CF⊥CH 交AH 于点 F，
则∠ACB＝∠FCH＝∠DCE＝90°，
∴∠ACF＝∠BCH，∠ACD＝∠BCE，
∵ ，
∴△ACD∽△BCE，
∴∠CAF＝∠CBH，
∴△ACF∽△BCH，
∴ ，
∴AF＝ ，CF＝ ，
在Rt△CFH 中，由勾股定理得：
FH＝ ＝ ，
∴AH﹣，
∴AH﹣BH 的值为： ；
（3）设 BC 交AH 于G，
由（2）得：∠CAG＝∠HBG，
∵∠AGC＝∠BGH，
∴∠BHG＝∠ACG＝90°，
∴∠AHB＝90°，
∴点 H在以 AB 为直径的圆上运动，
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