专项11 相似三角形-一线三等角模型综合应用（原卷版）-2022-2023学年九年级数学上册高分突破必练专题

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专项 11 相似三角形-一线三等角模型综合应用
图3
图2
图1
E
F
F
C
B
B
C
C
B
A
D
E
D
A
E
D
A
1. 如图
，
∠B=∠C=∠EDF ⇒Δ BDE
∽
Δ CFD
（一线三等角）
如图
2
，
∠B=∠C=∠ADE ⇒Δ ABD
∽
Δ DCE
（一线三直角）
如 图
3
， 特 别 地 ， 当
D
是
BC
中 点 时 ：
Δ BDE
∽
Δ DFE
∽
Δ CFD
⇒
ED
平 分
∠BEF
，
FD
平分
∠EFC
。
2. 一线三等角辅助线添加：一般情况下，已知一条直线上有两个等角（直角）或一个直
角时，可构造“一线三等角”型相似。
【类型 1：标准“K”型图】
【典例 1】如图有一块三角尺，Rt△ABC，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝6，用一张面积最小
的正方形纸片将这个三角尺完全覆盖．求出这个正方形的面积．
【变式 1-1】如图，正方形 ABCD 中，点 E在BC 边上，且 AE⊥EF，若 BE＝2，CF＝ ，
求正方形 ABCD 的边长．
【变式 1-2】如图，在正方形 ABCD 中，M为BC 上一点，ME⊥AM，ME 交CD 于F，交
AD 的延长线于点 E．
（1）求证：△ABM∽△MCF；
（2）若 AB＝4，BM＝2，求△DEF 的面积．
【变式 1-3】已知矩形 ABCD 的一条边 AD＝8，将矩形 ABCD 折叠，使得顶点 B落在 CD 边
上的 P点处．如图，已知折痕与边 BC 交于点 O，连接 AP、OP、OA．
（1）求证： ＝ ；
（2）若 OP 与PA 的比为 1：2，求边 AB 的长．
【类型 2：做辅助线构造“K”型图】
【典例 2】已知：在△EFG 中，∠EFG＝90°，EF＝FG，且点 E，F分别在矩形 ABCD 的边
AB，AD 上．
（1）如图 1，填空：当点 G在CD 上，且 DG＝1，AE＝2，则 EG＝　 　 ；
（2）如图 2，若 F是AD 的中点，FG 与CD 相交于点 N，连接 EN，求证：∠AEF＝
∠FEN；
（3）如图 3，若 AE＝AD，EG，FG 分别交 CD 于点 M，N，求证：MG2＝MN•MD．
【变式 2】如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 AB：y＝﹣x+m分别交 x轴，y轴于 A，B
两点，已知点 C（2，0）．
（1）当直线 AB 经过点 C时，m＝　 　 ；
（2）设点 P为线段 OB 的中点，连接 PA，PC，若∠CPA＝∠ABO，则 m的值是　 　 ．
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