专项11 相似三角形-一线三等角模型综合应用（解析版）-2022-2023学年九年级数学上册高分突破必练专题

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专项 11 相似三角形-一线三等角模型综合应用
图3
图2
图1
E
F
F
C
B
B
C
C
B
A
D
E
D
A
E
D
A
1. 如图
，
∠B=∠C=∠EDF ⇒Δ BDE
∽
Δ CFD
（一线三等角）
如图
2
，
∠B=∠C=∠ADE ⇒Δ ABD
∽
Δ DCE
（一线三直角）
如 图
3
， 特 别 地 ， 当
D
是
BC
中 点 时 ：
Δ BDE
∽
Δ DFE
∽
Δ CFD
⇒
ED
平 分
∠BEF
，
FD
平分
∠EFC
。
2. 一线三等角辅助线添加：一般情况下，已知一条直线上有两个等角（直角）或一个直
角时，可构造“一线三等角”型相似。
【类型 1：标准“K”型图】
【典例 1】如图有一块三角尺，Rt△ABC，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝6，用一张面积最小
的正方形纸片将这个三角尺完全覆盖．求出这个正方形的面积．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝6，
∴AB＝2BC＝12，
∴AC＝ ，
∵四边形 AFED 是正方形，
∴∠F＝∠E＝90°，AF＝FE，
∴∠FAC+∠FCA＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠FCA+∠BCE＝90°，
∴∠FAC＝∠BCE，
∴△AFC∽△CEB，
∴ ，
∴ ，
设AF＝x，则 CE＝ ，
∴FC＝ ，
∵AF2+FC2＝AC2，
∴x2+2＝2，
∴x2＝ ，
答：这个正方形的面积为： ．
【变式 1-1】如图，正方形 ABCD 中，点 E在BC 边上，且 AE⊥EF，若 BE＝2，CF＝ ，
求正方形 ABCD 的边长．
【解答】解：∵∠AEB+∠CEF＝90°，∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF，
又∵∠B＝∠C＝90°，
∴△BAE∽△CEF，
∴ ＝ ，
∵AB＝BC，
∴ ，
∴ ，
∴CE＝4，
∴BC＝CE+BE＝4+2＝6，
∴正方形 ABCD 的边长为 6．
【变式 1-2】如图，在正方形 ABCD 中，M为BC 上一点，ME⊥AM，ME 交CD 于F，交
AD 的延长线于点 E．
（1）求证：△ABM∽△MCF；
（2）若 AB＝4，BM＝2，求△DEF 的面积．
【解答】（1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AB＝BC＝CD，∠B＝∠C＝90°，BC∥AD，
∴∠BAM+∠AMB＝90°，
∵ME⊥AM，
∴∠AME＝90°，
∴∠AMB+∠FMC＝90°，
∴∠BAM＝∠FMC，
∴△ABM∽△MCF；
（2）解：∵AB＝4，
∴AB＝BC＝CD＝4，
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