专项10 相似三角形-射影定理综合应用（解析版）-2022-2023学年九年级数学上册高分突破必练专题

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专项 10 相似三角形-射影定理综合应用
　一、射影定理　直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项；
且每条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图（１）：Ｒ t△ＡＢＣ中，若ＣＤ为高，
则有Ｃ D ２＝ＢＤ•AD、
ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ或
ＡＣ２＝ＡＤ•ＡＢ。（证明略）
二、变式推广
　１．逆用　　如图（１）：若△ＡＢＣ中，Ｃ
Ｄ为高，且有ＤＣ２＝ＢＤ•ＡＤ或ＡＣ２＝ＡＤ•ＡＢ或ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ，则
有∠ＤＣＢ＝∠Ａ或∠ＡＣＤ＝∠Ｂ，均可等到△ＡＢＣ为直角三角形。
　　　　
　２．一般化，若△ ＡＢＣ不为直角三角形，当
点Ｄ满足一定条件时， 类似地仍有部分结论成立。
（后文简称：射影定理变式（2））
　　　如图（２）：△ＡＢＣ中，D 为ＡＢ上一点，若∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，
或∠ＤＣＢ＝∠Ａ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得ＢＣ２＝ＢＤ•AB；反之，
若△ＡＢＣ中，Ｄ为ＡＢ上一点，且有ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ，则有△ＣＤＢ∽△
ＡＣＢ，可得到∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ。
　　　　　　
【类型 1：直角三角形中射影定理】
【典例 1】如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，若 AD＝4，BD＝8，则 CD 的长为
（　　）
A．4 B．4 C．4 D．
【答案】A
【解答】解：∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠DCB+∠B＝90°，
∴∠A＝∠DCB，
∵∠ADC＝∠CDB＝90°，
∴△ADC∽△CDB，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得：CD＝4，
故选：A．
【变式 1-1】如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，CD⊥AB，AD＝4，BD＝9，则 CD 的长是
（　　）
A．B．6 C．D．
【答案】B
【解答】解：∵如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，CD⊥AB，AD＝4，BD＝9，
∴由射影定理得：CD2＝BD•AD＝9×4＝36，
∴CD＝6（舍去负值）．
故选：B．
【变式 1-2】如图，Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于点 D，下列结论中错误的是（
）
A．AC2＝AD•AB B．CD2＝CA•CB C．CD2＝AD•DB D．BC2＝BD•BA
【答案】B
【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB 于点 D，
∴AC2＝AD•AB，CD2＝DA•DB，BC2＝BD•BA．
故选：B．
【变式 1-3】如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，点 D在AB 上，且 ＝ ．
（1）求证△ACD∽△ABC；
（2）若 AD＝3，BD＝2，求 CD 的长．
【解答】（1）证明：∵ ＝ ，∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC；
（2）解：∵△ACD∽△ABC，
∴∠ACD＝∠B，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠A+∠ACD＝90°，
∴∠ADC＝90°，
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