专项07 一元二次方程的实际应用（5大类型）（解析版）-2022-2023学年九年级数学上册高分突破必练专题

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专项 07 一元二次方程的实际应用（5大类型）
类型一 变化率问题 ：
设基准数为 a ，两次增长（或下降）后为 b；增长率（下降率）为 x，第一
次增长（或下降）后 为 ；第二次增长（或下降）后为 ²．可
列方程为 ²=b。
类型二 传染、分裂问题
有一人患了流感,经过两轮传染后共有 121 人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个
人? 设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人：
类型三 握手、比赛问题
握手问题：n 个人见面，任意两个人都要握一次手，问总共握 次手。赠
卡问题：n 个人相互之间送卡片，总共要送
n(n−1)
张卡片。
类型四 销售利润问题
（1）常用公式：利润=售价-成本；总利润=每件利润×销售量；
（2）每每问题中，单价每涨 a 元，少买 y 件。若涨价 y 元，则少买的数量为
类型五 几何面积问题
（1）如图①，设空白部分的宽为 x,则；
（2）如图②，设阴影道路的宽为 x,则
（3）如图③，栏杆总长为 a，BC 的长为 b,则
类型六 动点与几何问题
关键是将点的运动关系表示出来，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积或体积公
式列出方程.
【典例 1】（2022•金平区校级模拟）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让
人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”学校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面
向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆 128 人次，进馆人次逐月增加，到第三
个月末进馆 288 人次．若进馆人次的月平均增长率相同：
（1）求进馆人次的月平均增长率；
（2）因学校条件限制，图书馆月接纳能力不超过 400 人次．在进馆人次月平均增长率
不变的前提下，学校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次？请说明理由
【解答】解：（1）设进馆人次的月增长率为 x，
依题意得：128（1+x）2＝288，
解得：x1＝0.5＝50%，x2＝﹣2.5（不合题意，舍去）．
答：进馆人次的月平均增长率 50%．
（2）学校图书馆不能接纳第四个月的进馆人次，理由如下：
∵进馆人次的月平均增长率 50%，
∴第四个月的进馆人次为 288×（1+50%）＝432（人次）．
∵432＞400，
∴学校图书馆不能接纳第四个月的进馆人次．
【变式 1-1】（2022•安徽模拟）据乘用车市场信息联席会（CPCA）数据显示，我国纯电动
车发展迅速，2021 年8月至 10 月，纯电动车月批发销量由 24.9 万辆增加到 30.3 万辆．
设2021 年8月至 10 月纯电动车批发销量的月平均增长率为 x，则可列方程为（　　）
A．24.9（1+2x）＝30.3
B．24.9×2（1+x）＝30.3
C．24.9【1+（1+x）+（1+x）2】＝30.3
D．24.9（1+x）2＝30.3
【答案】D
【解答】解：依题意得：24.9（1+x）2＝30.3．
故选：D．
【变式 1-2】（2021·舒城期末）我县某贫围户 2016 年的家庭年收入为 4000 元，由于党
的扶贫政策的落实，2017、2018 年家庭年收入增加到共 15000 元，设平均每年的增长
率为 x，可得方程（　　）
A．4000（1+x）2=15000
B．4000+4000（1+x）+4000（1+x）2=15000
C．4000（1+x）+4000（1+x）2=15000
D．4000+4000（1+x）2=15000
【答案】C
【解答】解：设平均每年的增长率是 x，根据题意可得：
4000（1+x）+4000（1+x）2=15000．
故答案为：C
【变式 1-3】（2020·合肥模拟）某公司今年 1月的营业额为 250 万元，按计划第 1季度
的营业额要达到 900 万元，设该公司 2、3月的营业额的月平均增长率为
x
．根据题
意列方程正确的是（　　）
A．
250(1+x)2=900
B．
250(1+x%)2=900
C．
250(1+x)+250(1+x)2=900
D．
250+250(1+x)+250(1+x)2=900
【答案】D
【解答】解：根据题意列方程得：
．
故答案为：D．
【典例 2】（2022•咸丰县模拟）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有 121 个人患了流
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