专项04 矩形中典型模型综合应用（4大类型）（解析版）-2022-2023学年九年级数学上册高分突破必练专题

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专项 04 矩形中典型模型综合应用（4大类型）
类型一：矩形+60°（30°/120°）构成等边三角形
类型二：面积问题
类型三：最小值问题
类型四：矩形对角线的垂直平分线问题
【类型一：矩形+60°（30°/120°）构成等边三角形】
【典例 1】如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，已知∠AOD＝120°，AB＝
2，则 AC 的长为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【解答】解：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，
∴OA＝OB，
∵∠AOD＝120°，
∴∠AOB＝60°，
∴△AOB 是等边三角形，
∴OA＝OB＝AB＝2，
∴AC＝2OA＝4，
故选：B．
【变式 1-1】】如图，矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 O．若∠AOB＝60°，BD＝
10，则 AB 的长为（　　）
A．5 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【解答】解：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AC＝BD，AO＝BO＝CO＝DO，
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB 是等边三角形，
∴AB＝BD＝5．
故选：B．
【变式 1-2】如图，矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 O，若∠AOD＝60°，AD＝2，则 CD
的长为 　 　 ．
【答案】2
【解答】解：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，
∴OA＝OB＝OD，
∵∠AOD＝60°，
∴△AOD 是等边三角形，
∴OD＝AD＝2，
∴BD＝2OD＝4，
∴DC＝ ＝ ＝2，
故答案为：2．
【类型二：面积问题】
【典例 2】如图，EF 过长方形 ABCD 对角线的交点 O．且分别交 AB、CD 于点 E、F．那么
阴影部分的面积是长方形 ABCD 面积的（　　）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：∵四边形为矩形，
∴OB＝OD＝OA＝OC，AB∥CD，
∴∠EBO＝∠FDO，
在△EBO 与△FDO 中，
，
∴△EBO≌△FDO（ASA），
∴阴影部分的面积＝S△AEO+S△EBO＝S△AOB＝S矩形 ABCD，
故选：C．
【变式 2-1 】如图，直角三角形 ABC 的面积为 4，点 D是斜边 AB 的中点，过点 D作
DE⊥AC 于点 E，DF⊥BC 于点 F，则四边形 DECF 的面积为（　　）
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