专项03 正方形中四个常考模型（解析版）-2022-2023学年九年级数学上册高分突破必练专题

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专项 03 正方形中四个常考模型

模型一：正方形的“十字架”模型

模型二：正方形中过对角线交点的直角问题

正方形 ABCD 中，O为两条对角线的交点，点分别在上.若

为直角，分别与的延长线交于点，则△AOE≌△BOF，

△AOG≌△BOH，△OGH 是等腰直角三角形，且 .

模型三：正方形中的“三垂定理”模型

如图，已知正方形 ABCD，过点 B、D两点分别向过点 C的直线作垂线，

垂足分别为 E、F，则有△BCE CDF≌△

模型四：正方形半角模型

【模型一：正方形的“十字架”模型】

【典例 1】如图，ABCD 是一个正方形花园，是它的两个门，且 .要修建两

条路 BE 和AF，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？

【探究】若去掉“ ”这一条件，将两个结论中的一个作为条件能推出另一个结

论成立吗？

（1）若已知，则成立吗？

（2）若已知，则成立吗？

【解答】且，理由：∵四边形 ABCD 是正方形，，

条件：①正方形 ABCD ，②∠ EAF=45°

结论：

①EF=BE+DF ；( CEF△的周长 =正方形 ABCD

周长的一半）

②EA 平分∠ BEF

③FA 平分∠ DAE

条件：①正方形 ABCD ；

②∠ EAF=45°

结论： EF=DF-BE

☆ ：当∠ EAF 旋转到正方形 ABCD 外部时，则

有：

.又.△ABE≌△DAF（SAS）.

.，.

，即 .

【探究】解：（1）成立.理由：∵四边形 ABCD 是正方形，，

.在Rt△ABE 和Rt△DAF 中， Rt△ABE≌Rt△DAF （HL ）.

.，.

，即 .

（2）成立.理由：∵四边形 ABCD 是正方形， .

又. . ，

.△ABE≌△DAF（ASA）. .

【变式 1-1】如图，在正方形 ABCD 中，点 E、F分别在 BC、CD 上，且 BE＝CF，求证：

AE＝BF．

【解答】证明：∵四边形 ABCD 是正方形，

∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90˚，

在△ABE 和△BCF 中，

，

∴△ABE≌△BCF（SAS），

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