专题强化练习02 一元二次方程的综合应用(拔尖)-【多维练】2021-2022学年九年级数学上学期多维课时提优＋阶段提优(苏科版)(解析版)

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专题强化练习 02

一元二次方程的综合应用（拔尖）

1．关于 x的方程 kx2+（2k+1）x+k1﹣＝0的根都是正整数，则 k的值为　 0 ， 1 　．

【分析】分 k＝0和k≠0 两种情况讨论．当 k＝0时，所给方程为 x1﹣＝0，有整数根 x＝1；当 k≠0 时，

所给方程为二次方程，根据根与系数的关系即可求出 k的值，然后用 Δ＞0验证 k是否符合题意即可．

【详解】解：当 k＝0，方程变为：x1﹣＝0，解得方程有正整数根为 x＝1；

当k≠0，Δ＝（2k+1）24×﹣k×（k1﹣）＝﹣3k2+6k+1＝8k+1，

一元二次方程都是正整数根，则△必须为完全平方数，

当Δ＝9，则 k＝1；

当Δ＝4，则 k＝，

当Δ＝16 时，k＝；

当Δ＝0，则 k＝﹣ ；

而x＝，

当k＝1，解得 x＝0或﹣3；

当k＝，解得 x＝﹣ 或﹣ ；

当k＝，解得 x＝或﹣ ；

当k＝﹣ ，

解得 x都不为整数，并且 k为其它数△为完全平方数时，解得 x都不为整数．

∴当 k为0、1关于 x的方程 kx2+（2k+1）x+k1﹣＝0的根都是正整数．

故答案为：0，1．

2．两年前生产 1吨甲种药品的成本是 5000 元，生产 1吨乙种药品的成本是 6000 元，随着生产技术的进步，

现在生产 1吨甲种药品的成本是 3000 元，生产 1吨乙种药品的成本是 3600 元，则甲药品成本的年平均

下降率　等于　乙药品成本的年平均下降率（用“大于”“小于”或“等于”填空）

【分析】设甲药品成本的年平均下降率为 x，乙药品成本的年平均下降率为 y，由题意得两个一元二次

方程，化简后发现两个方程右边相等，故两方程左边相等，从而可得答案．

【详解】解：设甲药品成本的年平均下降率为 x，由题意得：

5000（1﹣x）2＝3000

化简得：（1﹣x）2＝①

设乙药品成本的年平均下降率为 y，由题意得：

6000（1﹣y）2＝3600

化简得：（1﹣y）2＝②

比较①②得：（1﹣x）2＝（1﹣y）2

∴1﹣x＝1﹣y或1﹣x＝﹣（1﹣y）

\∴x＝y或x+y＝2（不合题意，舍去）

∴x＝y

故答案为：等于．

3．已知矩形 ABCD 的周长的平方与面积的比为 k．则矩形 ABCD 的较长的一边与较短的一边的长度的比等

于　　．

【分析】根据矩形 ABCD 的周长的平方与面积的比为 k得到相应的等式，整理为整式后，设矩形 ABCD

的较长的一边与较短的一边的长度的比为未知数，用求根公式求解即可．

【详解】解：设矩形的长、宽分别为 a、b（a≥b）．

则＝k，即 4a2+（8﹣k）ab+4b2＝0．

两边都除以 b2，

令t＝，则 4t2+（8﹣k）t+4＝0．

解得 t＝．

故答案为：．

4．燃放烟花爆竹是中国春节的传统民俗．某品牌的烟花 2013 年除夕每箱进价 100 元，售价 250 元，销售

40 箱．而 2014 年除夕当天和去年相比，该店的销售量下降了 4a%（a为正整数），每箱售价提高了 a

%，成本增加了 50%，其销售利润仅为去年当天利润的 50%，则 a的值为　 10 　．

【分析】根据等量关系：2014 年销售利润仅为 2013 年当天利润的 50%列出关系式，解方程即可确定出

a的值．

【详解】解：根据题意得：40 （1 4﹣a%）×[250 （1+a%）﹣（1+50% ）×100] ＝40× （250﹣

100）×50%，

整理得：（1 4﹣a%）（100+2.5a）＝75，即（a+25）（a10﹣）＝0，

解得：a＝﹣25（舍去）或 a＝10，

则a的值为 10．

故答案为：10．

5．今年奉节脐橙喜获丰收，某村委会将全村农户的脐橙统一装箱出售．经核算，每箱成本为 40 元，统一

零售价定为每箱 50 元，可以根据买家订货量的多少给出不同的折扣价销售．

（1）问最多打几折销售，才能保证每箱脐橙的利润率不低于 10%？

（2）该村最开始几天每天可卖 5000 箱，因脐橙的保鲜周期短，需要尽快打开销路，减少积压，村委会

决定在原售价基础上每箱降价 3m%，这样每天可多销售 m%；为了保护农户的收益与种植积极性，

政府用“精准扶贫基金”给该村按每箱脐橙 m元给予补贴进行奖励，结果该村每天脐橙销售的利润为

49000 元，求 m的值．

【分析】（1）设打 x折销售，根据利润率＝ ≥10%，列方程可得结论；

（2）等量关系为：（售价﹣成本）×销售量＝利润；原售价基础上每箱降价 3m%，每天可多销售 m

%，依此列出方程，解方程即可．

【详解】解：（1）设打 x折销售，才能保证每箱脐橙的利润率不低于 10%，

由题意得： ≥10%，

x≥8.8，

答：最多打 8.8 折销售，才能保证每箱脐橙的利润率不低于 10%；

（2）由题意得：5000（1+ m%）[50（1 3﹣m%）+m40]﹣＝49000，

5（1+ ）（50﹣m+m40﹣）＝49，

m25﹣m6﹣＝0，

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