专题培优02 圆与常见几何图形多边相切问题-【多维练】2021-2022学年九年级数学上学期多维课时提优＋阶段提优(苏科版)(解析版)

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专题培优 02 圆与常见几何图形多边相切问题
【方法引导】
1. “有公共点、连半径、证垂直，否则作垂线段，证 d=r”.
2. 引导学生画出几种相切的特殊图形.
【例题讲解】
如图，在平面直角坐标系 xOy 中，▱ABCO 的顶点 A，B坐标分别是（6，0），（0，4）．动点 P在直线
OD 解析式为 y＝x上运动．
（1）若反比例函数 y＝ 图象过 C点，则 m＝　 ﹣ 24 　 ．
（2）证明：OD⊥AB；
（3）当以点 P为圆心、PB 长为半径的⊙P随点 P运动⊙P与▱ABCO 的边所在直线相切时，请直接写
出点 P的坐标．
【例题 1 问题 3课堂问题串具体引导】
问题 1.⊙P与▱ABCO 的边所在直线相切具体分几种情况呢？
问题 2.哪种情况你最容易画呢？
问题 3. P⊙与边所在直线有公共点时，需怎么证（证垂直）
⊙P与边所在直线无明确公共点时，需怎么证（作垂线段，证 d=r）
【分析】（1）利用平行四边形的性质求出点 C的坐标即可解决问题．
（2）求出 D的坐标，求出 BD，OD，利用勾股定理的逆定理证明即可．
（3）设 P（x，x），首先证明 OP⊥OC，分四种情形讨论即可．
【详解】（1）解：∵A（6，0），B（0，4），
∴OA＝6，OB＝4，
∵四边形 OABC 是平行四边形，
∴BC＝OA＝6，
∴C（﹣6，4）．
∵反比例函数 y＝ 图象过 C点，
∴m＝﹣24，
故答案为﹣24．
（2）证明：∵A（6，0），B（0，4），
∴直线 AB 的解析式为 y＝﹣ x+4，
由 解得 ，
∴D（ ， ），
∴BD2＝（ ）2+（4﹣）2＝ ，OD2＝（ ）2+（ ）2＝ ，
∵OD2+BD2＝ ＝16＝OB2，
∴∠ODB＝90°，
∴OD⊥AB．
（3）解：∵OP⊥AB，AB∥OC
∴OP⊥OC，设 P（x，x）
①当⊙P与BC 相切时，∵动点 P在直线 y＝x上，
∴P与O重合，此时圆心 P到BC 的距离为 OB，
∴P（0，0）．
②如图 1中，当⊙P与OC 相切时，则 OP＝BP，△OPB 是等腰三角形，作 PE⊥y轴于 E，则 EB＝
EO，易知 P的纵坐标为 2，可得 P（ ，2）．
③如 图 2中，当⊙P与OA 相切时，则点 P到 点 B的距离与点 P到x轴的距离相等，可得
＝x，
解得 x＝6+2 或6 2﹣，
∴P（6 2﹣，9 3﹣）或（6+2 ，9+3 ）．
④如图 3中，当⊙P与AB 相切时，设线段 AB 与直线 OP 的交点为 G，此时 PB＝PG，
∵OP⊥AB，
∴∠BGP＝∠PBG＝90°不成立，
∴此种情形，不存在 P．
综上所述，满足条件的 P的坐标为（0，0）或（ ，2）或（6 2﹣，9 3﹣）或（6+2 ，9+3
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