专题培优01 平面上的点与圆上的点之间距离的最值问题-【多维练】2021-2022学年九年级数学上学期多维课时提优＋阶段提优(苏科版)(解析版)

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专题培优 01 平面上的点与圆上点之间距离的最值问题
【方法引导】
平面上的点与圆上的点之间的距离最值问题，首先连圆心，其次加半径或减半径
如点 P在圆外时，则 PA 最值问题图示：
【例题讲解】
问题情境：如图 1，P是⊙O外的一点，直线 PO 分别交⊙O于点 A，B，则 PA 是点 P到⊙O上的点的最短
距离．
（1）探究：
如图 2，在⊙O上任取一点 C（不为点 A，B重合），连接 PC，OC．试证明：PA＜PC．
（2）直接运用：如图 3，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以 BC 为直径的半圆交 AB 于
D，P是 上的一个动点，连接 AP，则 AP 的最小值是 　 ﹣ 1 　 ．
（3）构造运用：如图 4，在边长为 2的菱形 ABCD 中，∠A＝60°，M是AD 边的中点，N是AB 边上一
动点，将△AMN 沿MN 所在的直线翻折得到△A′MN，连接 A′C，请求出 A′B长度的最小值．
解：由折叠知 A′M＝AM，又 M是AD 的中点，可得 MA＝MA′＝MD，故点 A′在以 AD 为直径的圆上．
（请继续完成解题过程）
（4）综合应用：（下面两小题请选择其中一道完成）
①如图 5，E，F是正方形 ABCD 的边 AD 上两个动点，满足 AE＝DF．连接 CF 交BD 于点 G，连接 BE
交AG 于点 H．若正方形的边长为 2，则线段 DH 长度的最小值是 　 ﹣ 1 　 ．
②如图 6，平面直角坐标系中，分别以点 A（﹣ 2，3），B（3，4）为圆心，以 1，2为半径作
⊙A，⊙B，M，N分别是⊙A，⊙B上的动点，P为x轴上的动点，则 PM+PN 的最小值等于 　 ﹣ 3
．
【例题 1 （4）综合应用课堂问题串具体引导】
问题 1.同学们，两点间的最值我们学了哪几种（将军饮马——两点间直线段最短，点与线的垂线段最
短）？
问题 2.观察点 H的轨迹，你有什么发现呢？（AB 中点为圆心，AB 的一半为半径的圆）
【分析】（1）利用三角形三边关系结合圆的性质得出答案；
（2）直接利用勾股定理得出 AO 长，进而得出答案；
（3）利用已知点 A′在以 AD 为直径的圆上，得出当点 A′在BM 上时，A′B长度取得最小值，进而得出
BM 的长，即可得出答案；
（4）①根据正方形的性质可得 AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，然后利用“边角
边”证明△ABE 和△DCF 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1＝∠2，利用“SAS”证明△ADG 和
△CDG 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2＝∠3，从而得到∠1＝∠3，然后求出∠AHB＝90°，
取AB 的中点 O，连接 OH、OD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 OH＝AB＝1，利
用勾股定理列式求出 OD，然后根据三角形的三边关系可知当 O、D、H三点共线时，DH 的长度最小；
②作⊙A关于 x轴的对称⊙A′，连接 BA′分别交⊙A′和⊙B于M、N，交 x轴于 P，如图，根据两点之间
线段最短得到此时 PM+PN 最小，再利用对称确定 A′的坐标，接着利用两点间的距离公式计算出 A′B的
长，然后用 A′B的长减去两个圆的半径即可得到 MN 的长，即得到 PM+PN 的最小值．
【详解】（1）证明：如图 2，在⊙O上任取一点 C（不为点 A、B），连接 PC、OC．
∵PO＜PC+OC，PO＝PA+OA，OA＝OC，
∴PA＜PC，
∴PA 是点 P到⊙O上的点的最短距离；
（2）解：连接 AO 与⊙O相交于点 P，如图 3，由已知定理可知，
此时 AP 最短，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，BC 为直径，
∴PO＝CO＝1，
∴AO＝ ＝ ，
∴AP＝ ﹣1，
故答案为： ﹣1；
（3）解：如图 4，由折叠知 A′M＝AM，又 M是AD 的中点，可得 MA＝MA′＝MD，
故点 A′在以 AD 为直径的圆上，
由模型可知，当点 A′在BM 上时，A′B长度取得最小值，
∵边长为 2的菱形 ABCD 中，∠A＝60°，M是AD 边的中点，
∴BM＝ ＝ ，
故A′B的最小值为： ﹣1；
（4）①解：在正方形 ABCD 中，AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，
在△ABE 和△DCF 中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠1＝∠2，
在△ADG 和△CDG 中，
，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
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