专题24.26 《圆》全章复习与巩固（知识讲解）-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

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专题 24.26 《圆》全章复习与巩固（知识讲解）
【学习目标】
1．理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点与圆、直线与圆、圆
与圆的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征；
2．了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是
否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线；
3．了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆；
4．了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形
的面积、圆锥的侧面积及全面积；
5．结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理
论证的表达能力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知
【要点梳理】
要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角
1．圆的定义
　　(1)线段 OA 绕着它的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的封闭曲线，叫做圆.
　　(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合.
特别说明：
　 ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，
二者缺一不可；
　②圆是一条封闭曲线.
2．圆的性质
　　(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中
心对称图形，对称中心是圆心.
　　 　在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意
一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.
　　(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.
　　(3)垂径定理及推论：
　　 　①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
　　 　②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
　　 　③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.
　　 　④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦.
　　 　⑤平行弦夹的弧相等.
特别说明：
在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所
对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、
平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）
3．两圆的性质
　　(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线.
　　(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点.
4．与圆有关的角
　　(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.
　　 　圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数.
　　(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角.
　　 　圆周角的性质：
　　 　①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.
　　 　②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.
　　 　③ 90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.
　　 　④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
　　 　⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角.
特别说明：
　　(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.
　　(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.
要点二、与圆有关的位置关系
1．判定一个点 P 是否在⊙O 上
　　设⊙O 的半径为 ，OP= ，则有
　　 点 P 在⊙O 外；　 点 P 在⊙O 上； 点 P 在⊙O 内.
特别说明：
点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定
数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.
2．判定几个点 在同一个圆上的方法
　　当 时， 在⊙O 上.
3．直线和圆的位置关系
　　设⊙O 半径为 R，点 O 到直线 的距离为 .
　　(1)直线 和⊙O 没有公共点 直线和圆相离 .
　　(2)直线 和⊙O 有唯一公共点 直线 和⊙O 相切 .
　　(3)直线 和⊙O 有两个公共点 直线 和⊙O 相交 .
4．切线的判定、性质
　　(1)切线的判定：
　　 　①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
　　 　②到圆心的距离 等于圆的半径的直线是圆的切线.
　　(2)切线的性质：
　　 　①圆的切线垂直于过切点的半径.
　　 　②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点.
　　 　③经过切点作切线的垂线经过圆心.
　　(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.
　　(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连
线平分两条切线的夹角.
要点三、三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形
1．三角形的内心、外心、重心、垂心
　　(1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角
形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示.
　　(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角
形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三
角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用 O 表示.
　　(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边
中点距离的 2 倍，通常用 G表示.
　　(4)垂心：是三角形三边高线的交点.
特别说明：
　　(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；
　　(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内
切圆半径乘积的一半，即 (S为三角形的面积，P 为三角形的周长，r为内切圆的
半径).
　　(3) 三角形的外心与内心的区别：
名称 确定方法 图形 性质
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