专题24.17 直线和圆的位置关系（2）-切线长定理（知识讲解）-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

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专题 24.17 直线和圆的位置关系（2）-切线长定理
（知识讲解）
【学习目标】
1.了解切线长定义；理解切线的判定和性质；理解三角形的内切圆及内心的定义；
2.掌握切线长定理；利用切线长定理解决相关的计算和证明.
【要点梳理】
要点一、切线的判定定理和性质定理
1．切线的判定定理：
　　经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
特别说明：切线的判定方法：
（1）定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线就是圆的切线；
（2）定理：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；
（3）判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（切线的判定定理
中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可）.
2．切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.
特别说明：切线的性质：
（1）切线和圆只有一个公共点；
（2）切线和圆心的距离等于圆的半径；
（3）切线垂直于过切点的半径；
（4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点；
（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心.
要点二、切线长定理
1．切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线
长.
特别说明：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是
直线，而非线段.
2．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连
线平分两条切线的夹角.
特别说明：　切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.
3．圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边之和相等.
要点三、三角形的内切圆
1．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
2．三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.
　　特别说明：
　　(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；
　　(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内
切圆半径乘积的一半，即 (S 为三角形的面积，P 为三角形的周长，r 为内切圆的
半径).
　　(3) 三角形的外心与内心的区别：
名称 确定方法 图形 性质
外心(三角形外
接圆的圆心)
三角形三边中垂线的
交点
(1)OA=OB=OC；(2)外心不一
定在三角形内部
内心(三角形内
切圆的圆心)
三角形三条角平分线
的交点
(1)到三角形三边距离相等；
(2)OA、OB、OC 分别平分
∠BAC、∠ABC、∠ACB；
(3)内心在三角形内部.
【典型例题】
类型一、切线的定义
1．下列命题中正确的是（ ）
A．与圆有公共点的直线是圆的切线
B．经过半径外端点且与这条半径垂直的直线是圆的直径
C．垂直于圆的半径的直线是圆的切线
D．到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线
【答案】D
解：A．割线与圆相交也有公共点，但不是圆的切线，故此选项不正确；B．符合切线
的概念，而不是圆的直径，故此选项不正确；C．应该为经过半径外端点且与这条半径垂
直的直线是圆的切线，故此选项不正确；D．符合圆的切线概念，故此选项正确．
【变式 1】下面给出了用三角尺画一个圆的切线的步骤示意图，但顺序需要进行调整，
则正确的画图步骤是（ ）
A．②③④① B．③②④① C．②④①③ D．③①②④
【答案】A
解：略
【变式 2】如图，以点 O为圆心作圆，所得的圆与直线 a相切的是（ ）
A．以 OA 为半径的圆 B．以 OB 为半径的圆
C．以 OC 为半径的圆 D．以 OD 为半径的圆
【答案】D
【分析】根据直线与圆的位置关系进行判断．
解： 于 ，
以 为圆心， 为半径的圆与直线 相切，
故选：D．
【点拨】本题考查直线与圆的位置关系—相切，是重要考点，难度较易，掌握相关知
识是解题关键．
【变式 3】如图，点 B在⊙A上，点 C在⊙A外，以下条件不能判定 BC 是⊙A切线的
是（　　）
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