专题24.15 直线和圆的位置关系（1）（知识讲解）-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

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专题 24.15 直线和圆的位置关系（1）（知识讲解）

【学习目标】

1. 理解直线与圆的三种位置关系,

2. 会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系；

【要点梳理】

1．直线和圆的三种位置关系：

　　(1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线．

　　(2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，

唯一的公共点叫做切点．

　　(3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．

2．直线与圆的位置关系的判定和性质．

　　直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？

　　由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以

转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直

线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径．

　　如果⊙O 的半径为 r，圆心 O 到直线的距离为 d，那么

特别说明：

这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是

直线与圆的位置关系的判定．

【典型例题】

类型一、判定直线和圆的位置关系

1．在平面直角坐标系中，圆心 O的坐标为（-3，4），以半径 r在坐标平面内作

圆，

（1）当 r 时，圆 O与坐标轴有 1个交点；

（2）当 r 时，圆 O与坐标轴有 2个交点；

（3）当 r 时，圆 O与坐标轴有 3个交点；

（4）当 r 时，圆 O与坐标轴有 4个交点；

【答案】（1）；（2）；（3）或 5；（6）且

【分析】分别根据直线与圆相切、相交的关系进行逐一解答即可．

解：（1）圆心的坐标为，

当时，圆与坐标轴有 1个交点；

（2）圆心的坐标为，

当时，圆与坐标轴有 2个交点；

（3）圆心的坐标为，

当或 5时，圆与坐标轴有 3个交点；

（4）圆心的坐标为，

当且时，圆与坐标轴有 4个交点．

故答案为：（1）；（2）；（3）或 5；（6）且．

【点拨】本题考查的是直线与圆的位置关系，解答此题时要考虑到圆过原点的情况，

这是此题易遗漏的地方．

举一反三：

【变式 1】如图，已知 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AD 是∠BAC 的角平分线．

（1）请尺规作图：作⊙O，使圆心 O在AB 上，且 AD 为⊙O的一条弦．（不写作法，

保留作图痕迹）；

（2）判断直线 BC 与所作⊙O的位置关系，并说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）直线 BC 与所作⊙O相切，理由见解析

【分析】（1）作 AD 的垂直平分线交 AB 于点 O，以 OA 为半径画圆即可；

（2）连接 OD，通过等边对等角和角平分线的定义可得出∠CAD＝∠ODA

，

从而有

OD∥AC

，

∠ODB＝∠C＝90°所以 BC 为⊙O的切线

解：（1）如图，⊙O为所作；

（2）直线 BC 与所作⊙O相切．

理由如下：连接 OD，如图，

∵OA＝OD，

∴∠OAD＝∠ODA，

∵AD 平分∠BAC，

∴∠OAD＝∠CAD，

∴∠CAD＝∠ODA，

∴OD∥AC，

∵∠C＝90°，

∴∠ODB＝90°，

∴OD⊥BC，

∴BC 为⊙O的切线．

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