专题24.13 点和圆的位置关系（知识讲解）-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

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专题 24.13 点和圆的位置关系（知识讲解）

【学习目标】

1. 理解点和圆的三种位置关系；

2. 理解并掌握点到圆心的距离 d与圆的半径 r的关系；

3. 运用点和圆的位置关系解决实际问题。

【要点梳理】

由于平面上圆的存在，就把平面上的点分成了三个集合，即圆内的点，圆上的点和圆

外的点，这三类点各具有相同的性质和判定方法；设⊙O的半径为 r，点 P到圆心的距离为

d，则有　　　　　　　　　　　　

【典型例题】

　　类型一、判定点和圆的位置关系

　　 1．如图所示，在四边形 ABCD ，∠B= D=90°∠，求证：A、B、C、D四点在同

一个圆上．

　　【分析】根据圆的定义进行判断即可，圆的定义:平面上到定点的距离等于定长的所有

点组成的图形叫做圆. 连AC，取 AC 的中点 O，连接 OB、OD，利用直角三角形斜边上的

中线可得 OB=OA=OC=OD，即可推出 A、B、C、D四点在同一个圆上．

　　证明：连 AC，取 AC 的中点 O，连接 OB、OD，

　　∵∠B= D=90°∠，

　　∴OB= AC，OD= AC．即 OB=OA=OC=OD，

　　∴ A、B、C、D四点在同一圆上．

　　【点拨】本题考查圆的定义，直角三角形斜边上的中线，解题的关键是连 AC，取 AC

的中点 O，连接 OB、OD，构造直角三角形.

　　举一反三：

　　【变式 1】如图，网格纸中每个小正方形的边长为 1，一段圆弧经过格点，点 O为

坐标原点．

　　（1）该图中弧所在圆的圆心 D的坐标为　　；．

　　（2）根据（1）中的条件填空：

　　①圆 D的半径=　　（结果保留根号）；

　　②点（7，0）在圆 D　　（填“上”、“内”或“外”）；

　　③∠ADC 的度数为　　．

　　【答案】（1）（2，0）；（2）① ；②外；③ 90°；

　　【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦 AB 和BC 的垂直

平分线，交点即为圆心，根据勾股定理即可得到圆的半径；根据点到圆心的距离 d=5 即可

判断点与圆的位置关系．

　　解：（1）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，

　　可以作弦 AB 和BC 的垂直平分线，交点即为圆心．

　　如图所示，

　　则圆心 D的坐标为（2，0）；

　　（2）①圆 D的半径= =2 ，

　　②∵点（7，0）到圆心的距离 d=5，

　　∴d>r,故该点在圆 D外；

　　③如图，由 A(0,4), C(6,2)可知，∠ADC 的度数为 90°．

　　故答案为（2，0），2，外，90°．

　　【点拨】本题考查的是垂径定理，点与圆的位置关系，勾股定理，熟知“弦的垂直平

分线必过圆心”是解答此题的关键．

　　【变式 2】已知四边形 ABCD 为菱形，点 E、F、G、H分别为各边中点，判断

E、F、G、H四点是否在同一个圆上，如果在同一圆上，找到圆心，并证明四点共圆；如

果不在，说明理由．

　　【答案】点E、F、G、H四点是以 AC，BD 的交点 O为圆心的同一个圆上，证明见解

析.

　　【分析】根据菱形的对角线互相垂直，以及直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得

出E、F、G、H到O点距离都等于定长即可.

　　解：如图，连接 AC，BD 相交于点 O，连接 OE，OF，OG，OH，

　　∵四边形 ABCD 是菱形，

　　∴AB＝AD＝CD＝BC，AC BD⊥，

　　∵点 E是AB 的中点，

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