专题24.10 圆中的计算与证明的综合大题专项训练（50道）（举一反三）（人教版）（解析版）-2022-2023学年九年级数学上册举一反三系列（人教版）

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专题 24.10 圆中的计算与证明的综合大题专项训练（50 道）
【人教版】
考卷信息：
本套训练卷共 50 题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了圆中的计算与证明的综合问题的所
有类型！
一．解答题（共 50 小题）
1．（2022 秋•柯桥区月考）如图，D是⊙O弦BC 的中点，A是⊙O上的一点，OA 与BC 交于点 E，已知
AO＝8，BC＝12．
（1）求线段 OD 的长；
（2）当 EO
¿❑
√
2
BE 时，求 DE 的长．
【分析】（1）连接 OB，先根据垂径定理得出 OD⊥BC，BD
¿1
2
BC，在 Rt△BOD 中，根据勾股定理即
可得出结论；
（2）在 Rt△EOD 中，设 BE＝x，则 OE
¿❑
√
2
x，DE＝6﹣x，再根据勾股定理即可得出结论．
【解答】解：（1）连接 OB．
∵OD 过圆心，且 D是弦 BC 中点，
∴OD⊥BC，BD
¿1
2
BC，
在Rt△BOD 中，OD2+BD2＝BO2．
∵BO＝AO＝8，BD＝6．
∴OD＝2
❑
√
7
；
（2）在 Rt△EOD 中，OD2+ED2＝EO2．
设BE＝x，则 OE
¿❑
√
2
x，DE＝6﹣x．
（2
❑
√
7
）2+（6﹣x）2＝（
x）2，
解得 x1＝﹣16（舍），x2＝4．
则DE＝2．
2．（2022•市中区校级一模）如图，AB 是⊙O的直径，C是
^
BD
的中点，CE⊥AB 于点 E，BD 交CE 于点
F．
（1）求证：CF＝BF；
（2）若 CD＝6，AC＝8，求⊙O的半径及 CE 的长．
【分析】（1）要证明 CF＝BF，可以证明∠ECB＝∠DBC；AB 是⊙O的直径，则∠ACB＝90°，又知
CE⊥AB，则∠CEB＝90°，则∠DBC＝90°﹣∠ACE＝∠A，∠ECB＝∠A，则∠ECB＝∠DBC；
（2）在直角三角形 ACB 中，AB2＝AC2+BC2，又知，BC＝CD，所以可以求得 AB 的长，即可求得圆的
半径；再利用面积法求得 CE 的长．
【解答】（1）证明：∵AB 是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠ABC．
∵CE⊥AB，
∴∠CEB＝90°，
∴∠ECB＝90°﹣∠ABC，
∴∠ECB＝∠A．
又∵C是
^
BD
的中点，
∴
^
CD=
^
CB
，
∴∠DBC＝∠A，
∴∠ECB＝∠DBC，
∴CF＝BF；
（2）解：∵
^
BC=
^
CD
，
∴BC＝CD＝6，
∵∠ACB＝90°，
∴AB
¿❑
√
B C2+A C2=❑
√
62+82=¿
10，
∴⊙O的半径为 5，
∵S△ABC
¿1
2
AB•CE
¿1
2
BC•AC，
∴CE
¿BC ⋅AC
AB =6×8
10 =24
5
．
3．（2022 秋•岱岳区期末）已知⊙O的直径为 10，点 A、点 B、点 C在⊙O上，∠CAB 的平分线交⊙O于
点D．
（1）如图①，若 BC 为⊙O的直径，AB＝6，求 AC、BD、CD 的长；
（2）如图②，若∠CAB＝60°，求 BD 的长．
【分析】（1）利用圆周角定理可以判定△CAB 和△DCB 是直角三角形，利用勾股定理可以求得 AC 的
长度；利用圆心角、弧、弦的关系推知△DCB 也是等腰三角形，所以利用勾股定理同样得到 BD＝CD＝
5
❑
√
2
；
（2）如图②，连接 OB，OD．由圆周角定理、角平分线的性质以及等边三角形的判定推知△OBD 是等
边三角形，则 BD＝OB＝OD＝5．
【解答】解：（1）如图①，∵BC 是⊙O的直径，
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