专题24.9 圆的确定（知识讲解）-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

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专题 24.9 圆的确定（知识讲解）
【学习目标】
1．知识目标：了解不在同一直线上的三点确定一个圆，了解三角形的外接圆、三角形的外
心、圆的外接三角形的概念.
2．能力目标：会过不在同一直线上的三点作圆.
【要点梳理】
确定圆的条件
（1）经过一个已知点能作无数个圆；
（2）经过两个已知点 A、B 能作无数个圆，这些圆的圆心在线段 AB 的垂直平分线上；
(3）不在同一直线上的三个点确定一个圆.
(4)经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个
三角形叫做圆的内接三角形.
如图：⊙O 是△ABC 的外接圆， △ABC 是⊙O 的内接三角形，点 O 是△ABC 的外心.
外心的性质：外心是△ABC 三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相
等.
特别说明：
（1）不在同一直线上的三个点确定一个圆.“确定”的含义是“存在性和唯一性”.
（2）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定.
【典型例题】
1．已知：不在同一直线上的三点 A、B、C，求作： ⊙O 使它经过点 A、B、C.
【思路点拨】作圆的关键是找圆心得位置及半径的大小，经过两点的圆的圆心一定在连接
这两点的线段的垂直平分线上，进而可以作出经过不在同一直线上的三点的圆.
作法：1、连结 AB，作线段 AB 的垂直平分线 MN；
2、连接 AC，作线段 AC 的垂直平分线 EF，交 MN 于点 O；
3、以 O 为圆心，OB 为半径作圆.
所以⊙O 就是所求作的圆.
【点拨】通过这个例题的作图可以作出锐角三角形的外心（图一），直角三角形的外心
（图二），钝角三角形的外心（图三）.探究各自外心的位置.
【变式 1】一个圆形零件的部分碎片如图所示，请你利用尺规作图找到圆心 ．（要求：
不写作法，保留作图痕迹）
【解析】试题分析：首先在圆周上任取三个点 A、B、C，然后连接 AC 和 AB，分别作 AC 和
AB 的中垂线，两条中垂线的交点就是圆心．
试题解析：解：如图，点 O 即为所求．
【变式 2】如图，已知 BD 是四边形 ABCD 的一条对角线.请利用直尺和圆规在 AB 边上作一点
P，使得∠BPC＝∠BDC.（不写作法，保留作图痕迹）
【分析】作△BDC 的外接圆,△DBC 的外接圆与 AB 的交点 P，即为所作的点 P.
解：（1）作△BDC 的外接圆
（2）如图，△DBC 的外接圆与 AB 的交点 P，即为所作的点 P.
【点拨】本题主要考查了复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结
合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
【变式 3】如图，破残的圆形轮片上，弦 AB 的垂直平分线交弧 AB 于点 C，交弦 AB 于点 D．
已知：AB , CD .
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