专题24.9 弧长与扇形的面积【八大题型】（举一反三）（人教版）（解析版）-2022-2023学年九年级数学上册举一反三系列（人教版）

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专题 24.9 弧长与扇形的面积【八大题型】
【人教版】
【题型 1 弧长的计算】.......................................................................................................................................... 1
【题型 2 利用弧长公式求周长】........................................................................................................................... 5
【题型 3 利用弧长公式求最值】........................................................................................................................... 9
【题型 4 计算扇形面积】..................................................................................................................................... 13
【题型 5 计算不规则图形的阴影部分面积】..................................................................................................... 15
【题型 6 旋转过程中扫过的路径或面积】......................................................................................................... 19
【题型 7 圆锥的计算】........................................................................................................................................ 25
【题型 8 圆柱的计算】........................................................................................................................................ 26
【知识点 1 弧长与扇形的面积】
设
⊙O
的半径为
R
，
n °
圆心角所对弧长为
l
，
弧长公式：
l=nπR
180
（弧长的长度和圆心角大小和半径的取值有关）
扇形面积公式：
S扇形=n
360 π R2=1
2lR
母线的概念：连接圆锥顶点和底面圆周任意一点的线段。
圆锥体表面积公式：
S=π R2+πRl
（
为母线）
【题型 1 弧长的计算】
【例 1】（2022 秋•黔西南州期末）如图，四边形 ABCD 是半径为 2的⊙O的内接四边形，连接 OA，OC．
若∠AOC：∠ABC＝4：3，则
^
ABC
的长为（　　）
A．
8
5
π B．
6
5
π C．
4
5
π D．
3
5
π
【分析】设∠AOC＝4x°，∠ABC＝3x°，由圆周角定理得出∠AOC＝2∠D，求出∠D＝2x°，根据圆内接
四边形得出∠ABC+∠D＝180°，求出 x，求出∠AOC＝144°，再根据弧长公式求出即可．
【解答】解：设∠AOC＝4x°，∠ABC＝3x°，
由圆周角定理得：∠AOC＝2∠D，
∴∠D＝2x°，
∵四边形 ABCD 是⊙O的内接四边形，
∴∠ABC+∠D＝180°，
∴3x+2x＝180，
解得：x＝36，
即∠AOC＝144°，
∴
^
ABC
的长为
144 π × 2
180 =8
5
π，
故选：A．
【变式 1-1】（2022•龙岩模拟）如图，在⊙O中，点 C在优弧
^
AB
上，将
^
BC
沿BC 折叠后刚好经过 AB 的中
点D．若⊙O的半径为 5，AB＝4
❑
√
5
，则
^
AC
的长是（　　）
A．
5π
2
B．
25 π
4
C．
10 π
3
D．4π
【分析】连接 AC，OB，OD，CD，作 CF⊥AB 于点 F，作 OE⊥CF 于点 E，由垂定理可知 OD⊥AB 于
点D，由勾股定理可得 OD
¿❑
√
5
，再利用折叠性质判断 AC＝DC，利用等腰三角形性质得到 AF＝DF
¿❑
√
5
，再证明四边形 ODEF 为正方形，得到△CFB 为等腰直角三角形，计算出弧 AC 所对圆周角度数，
进而得弧 AC 所对圆心角度数，再代入弧长公式可得弧长．
【解答】解：连接 AC，OB，OD，CD，作 CF⊥AB 于点 F，作 OE⊥CF 于点 E，
由垂定理可知 OD⊥AB 于点 D，AD＝BD
¿1
2AB=2❑
√
5
．
又OB＝5，
∴OD
¿❑
√
O B2−B D2=❑
√
25−20=❑
√
5
，
∵CA、CD 所对的圆周角为∠CBA、∠CBD，且∠CBA＝∠CBD，
∴CA＝CD，△CAD 为等腰三角形．
∵CF⊥AB，
∴AF＝DF
¿1
2AD=❑
√
5
，
又四边形 ODFE 为矩形且 OD＝DF
¿❑
√
5
，
∴四边形 ODFE 为正方形．
∴
OE=❑
√
5
，
∴CE
¿❑
√
C O2−O E2=❑
√
25−5=¿
2
❑
√
5
，
∴CF＝CE+EF＝3
❑
√
5=¿
BF，
故△CFB 为等腰直角三角形，∠CBA＝45°，
∴
^
AC
所对的圆心角为 90°，
∴
^
AC=90 π⋅5
180 =5π
2
．
故选：A．
【变式 1-2】（2022•梁园区校级一模）如图 1所示是一张圆形纸片，直径 AB＝8，现将点 A折叠至圆心 O
形成折痕 CD，再把 C、D折叠至圆心 O处，最后将圆形打开铺平（如图 2所示），则
^
EF
的长是（
　）
A．
8
3π
B．
5
3π
C．
4
3π
D．
2
3π
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